Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= а„ (п0 + «) (Nt - ntо - fit) - аппх (ni0 + п,), (2.19)
где Nt, ап и п1 имеют тот же смысл, что и в § IX.4. При этом фактор прилипания в общем случае оказывается комплексным (что указывает на сдвиг фаз колебаний п и ns) и зависящим от частоты волны со. Однако положение существенно упрощается, если сот 1, где т — время жизни электронов в зоне. В этом случае ловушки успевают «следить» за изменениями пи/ становится постоянным числом, зависящим от состава кристалла и температуры.
Отметим в заключение, что, записывая уравнение движения в форме (2.18), мы не включили в него силы «трения», всегда существующие в реальных кристаллах. Этим мы исключили поглощение волны самой решеткой кристалла, которое, в случае необходимости, должно быть учтено дополнительно.
§ 3. Упругие волны в пьезодиэлектриках
Рассмотрим теперь особенно простой случай, когда упругая волна распространяется в непроводящей пьезоэлектрической среде (п = fit = tis = 0). Тогда уравнение (2.15) дает §& — const = 0 (так как # может быть постоянным, только если оно равно нулю), а из (2.16) получается
д% 4лР ди 4.тф дЧ)
дх е дх е дх2 '
494
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ явления
[ГЛ. XV
Подставляя это в уравнение движения (2.18), мы находим
¦ж = | c+K'i-S’ <3J)
где
К2=^. (3.2)
Соответственно, дифференцируя обе части уравнения (3.1) по х и заменяя в нем dQldx на и, получаем уравнение, описывающее распространение деформации:
+ (3-3)
Мы получили обычное волновое уравнение. Одно из его решений есть плоская волна, описываемая фюрмулой (2.6). Фазовая скорость волны vs дается выражением
^ = А(1 + ^) = ^о(1+^2), (3.4)
где t>so = А/ р есть квадрат скорости волны в отсутствие пьезоэлектрического взаимодействия. Мы видим, что в пьезоэлектрической среде скорость волны увеличивается в У 1 + К раз. Можно также сказать, что в этом случае упругие свойства среды описываются измененным, или эффективным, модулем упругости, равным
A' = A(l+tf2). ' (3.5)
Безразмерная постоянная К носит название константы электромеханической связи. Она определяет влияние пьезоэлектрического эффекта на распространение упругих волн. Величина К у сильных пьезоэлектриков (например, соединений типа А11 — BVI) имеет порядок 0,1,
§ 4. Упругие волны в пьезоэлектрических полупроводниках
Если электропроводность среды не равна нулю, то необходима вся система уравнений (2.11)—(2.19). Она содержит нелинейные уравнения (2.11) и (2.19), и ее решение в общем случае сложно. Поэтому мы ограничимся случаем малых колебаний и будем пренебрегать теми членами, которые содержат произведения малых переменных величин (при этом интенсивность волны может быть совсем не малой с точки зрения практических применений). Далее, чтобы упростить расчеты, мы сначала 1) пренебрежем диффузией и 2) положим, что прилипания электронов нет (/ = 1, ns = п).
§ 4) УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОПОЛУПРОВОДНИКАХ 495
Тогда мы получим систему линеаризованных уравнений
/ --- ~f rto§>)> (4.1)
(4.2)
?- 4пеа’ (4.3)
М = е$--- 4я(5ы, (4.4)
s = Ли -+ pj§> (4.5)
д-и d2s (4.6)
Р dt2 дх2 ‘
Положим, далее, что в кристалле распространяется плоская волна деформации (2.6). При этом мы будем считать ю вещественным, но q — комплексным, так как вследствие взаимодействия волны с электронами ее амплитуда изменяется. Так как теперь уравнения линейны, то и все другие величины будут изменяться по такому же закону:
§ ~ ехр [г (qx — ®0] и т- Д- (4-7)
Поэтому, подставляя (4.7) в уравнения (4.1) — (4.6), мы получим систему алгебраических уравнений
--- е\т<$ + / = 0, (4.8)
тп + я1 = 0, (4.9)
4л еп -fig# = 0, (4.10)
--- ?§ -f# -f 4ярц = 0, (4.11)
-Pi + s --- Аи = 0, (4.12)
q2s --- p«>2« = 0. (4.13)
Дальше задача решается-стандартным методом теории колебаний. А именно, так как уравнения (4.8)— (4.13) линейные однородные, то условие существования ненулевых решений, как известно, есть равенство нулю детерминанта коэффициентов этой системы. Это дает соотношение между ю и q:
/>, q) = 0, (4.14)
или закон дисперсии. Выражая отсюда q, мы получим его комплексным:
9 = х(со)-И (4.15)
496 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
Подставляя это в формулу (2.6), мы будем иметь
и = ых ехр | ух -f i (юс — о)/)|, (4.16)
что выражает затухающую плоскую волну. Отсюда видно, что коэффициент затухания амплитуды волны у/2 и скорость ее распространения vs получаются непосредственно из дисперсионного уравнения по формулам