Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
I = _x.vr + nj-^j, (1.8)
где х и П — некоторые скаляры. Формально второе слагаемое в (1.8) можно было бы объединить с третьим. Однако удобно рассматривать их порознь. Дело в том, что, как мы вскоре увидим,
второе слагаемое непосредственно связано с выделением тепла Пельтье, а третье вклада в это тепло не дает.
Чтобы выяснить смысл величин х и П, положим сначала j = 0. При этом возникают стандартные условия для измерения теплопроводности: в электрически изолированном образце создан постоянный градиент температуры и течет поток тепла. Таким образом, в соответствии с § 1.1, величина х есть не что иное, как коэффициент теплопроводности электронного газа.
Далее, рассмотрим контакт двух полупроводников 1 и 2. Пусть поверхность их раздела есть плоскость YZ, перпендикулярная векторам j и VT (рис. 13.1); вектор j будем считать направленным вдоль оси X. Вычислим количество тепла Q, выделяющееся или поглощающееся в единицу времени на единице площади данной поверхности. Для этой цели напишем равенство (1.8) дважды — для первого и второго проводников — и воспользуемся условиями непрерывности нормальной (к поверхности раздела) составляющей j, а также условием непрерывности электрохимического потенциала F. Обозначая индексами «1» и «2» значения соответствующих величин на поверхности раздела-, получим
-**(?),+**(§),0-9)
В левой части (1.9) стоит суммарная плотность потока тепла, подводимого к поверхности за счет теплопроводности. Поскольку мы рассматриваем стационарные условия, этот поток должен компенсироваться отводом тепла от контакта. Следовательно,
Q=п12/=(П1 — П2)/. (1.Ю)
Сравнивая это выражение с формулой (1.1.16), видим, что соотношение (1.1.17) действительно оправдывается.
“7 ^
Рис. 13.1. К выводу формулы для тепла Пельтье. Вертикальная линия изображает сечение поверхности раздела плоскостью чертежа. Для определенности градиент температуры принят антипараллельным вектору плотности тока.
Si] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 40?
Величины Ili и П2 называются коэффициентами Пельтье (соответственно первого и второго проводника).
Легко связать величины П и а с коэффициентом Томсона аг, определяемым равенством (1.1.13). Действительно, по определению дивергенции вектора I полное количество тепла, выделяющееся в единице объема образца .в единицу времени, есть — div I*). В силу уравнения непрерывности в стационарных условиях div j = 0. Принимая во внимание это обстоятельство, мы получаем из (1.1) и (1.8)
- div I =div (n-VT) — (j, VII)+ 0, S'). (1.11)
Согласно (1.7)
S'=l + a.V7\ (1.12)
Подставляя (1.12) в формулу (1.11), находим
-divI = div(x-Vr) + | —(g-a)(j, VT). (1.11')
Первое слагаемое в правой части (1.11') описывает выделение тепла за счет теплопроводности, второе — джоулево тепло, а третье — эффект Томсона. Коэффициент Томсона дается выражением
аг = ^-а. (1.13)
Формула (1.1.19) получается отсюда при учете (1.1.18). Последнее соотношение получается более сложным путем (см. § 7).
Из сказанного ясен способ вычисления коэффициента теплопроводности и коэффициента Пельтье: надо, пользуясь методами статистической физики, явно вычислить плотность потока энергии в рассматриваемых нами условиях опыта. При достаточно малых градиентах температуры и электрохимического потенциала результат будет иметь вид (1.8), но с явно вычисленными коэффициентами пропорциональности в первых двух слагаемых. Эти коэффициенты надлежит отождествить с феноменологически введенными величинами х и П.
в. Носители заряда в постоянных и однородных электрическом и магнитном полях. Пусть образец, к которому приложено постоянное напряжение, помещен в постоянное и однородное магнитное поле. Температуру образца будем считать всюду постоянной. Электрическое поле в образце по-прежнему будем считать слабым в указанном выше смысле.
Чтобы написать для этого случая феноменологическую формулу типа (1.1.5а), надо принять во внимание, что мы имеем теперь
*) В стационарных условиях эта величина обращается в нуль. Нам, однако, важно лишь узнать, из чего она складывается.
404 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
независимый вектор 6 и независимый псевдовектор S3*). В изотропной среде из них можно образовать только следующие векторные
комбинации:
S, [б х 55], (53, 6)53. (1.14)
При этом выражение для плотности тока имеет вид
j = alfi+fl2[Sxffl]+a»(a, 6)53, (1.15)
где av а2, а3 — некоторые скаляры. Поскольку магнитное поле не предполагается непременно слабым, они могут зависеть от <Ш2, Очевидно, формулу (1.15) можно переписать в виде (1.1.5а):
