Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, учитывая формулу (8.4), третье слагаемое в правой части (8.11) можно записать в виде
Ddiv (Vp) = div (?>• Vp) — VD- Vp.
После этого мы получаем
^ = g-v-Vp + div(D-Vp) —(8.12)
где
v=-'l"P_S + m (8.13)
М'л Мр
Очевидно, что второе слагаемое в правой части (8.12) есть быстрота изменения концентрации во времени, обусловленная движением
ш
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
пакета. В этом можно убедиться, рассуждая, как и выше, но.рассматривая вместо бесконечно тонкого слоя бесконечно малый параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. Скорость дрейфа пакета v выражается формулой (8.13), которая есть обобщение формулы (8.9). Третье слагаемое в правой части (8.12) дает изменение концентрации вследствие диффузии, а последнее — вследствие рекомбинации. Уравнение (8.12) есть уравнение непрерывности в амбиполярной форме, которое в ряде случаев удобнее уравнений (3.3). В частности, так как мы уже учли амбиполярное электрическое поле введением амбиполярного коэффициента диффузии D, то под 6 в формуле {8.13) нужно понимать только поле, создаваемое внешними источниками.
§ 9. Длины диффузии и дрейфа
Применим теперь уравнение непрерывности (8.12) к исследованию пространственного распределения избыточных носителей.
Рассмотрим нитевидный образец полупроводника, для определенности — и-типа, в одной из частей которого (при л: < 0, рис. 7.18)
генерируются электроны и дырки (например, светом), и найдем стационарное распределение Концентрации избыточных носителей в области х > 0, где генерации нет. Избыточные концентрации будем считать малыми и, соответственно, D, |л и 8 не зависящими от координаты. Тогда, полагая в уравнении (8.12) и = ц.® и dp/dt — ==0, получаемдля определения бр уравнение
(брГ_1(бр)'_^ = о, (9.1)
где штрих обозначает дифференцирование по х, а через К и L обозначены некоторые характерные длины:
Х = §, L=VDl- (9.2)
гО
Граничные условия задачи имеют вид:
х = 0: 6p = (Sp)0; х->-сх>: 8р->0.
Решение уравнения (9.1) есть
Ьр = а ехр ktx + b ехр k2x, где ______
1+8)-
Свет
О
х
Рис. 7.18. К вычислению длины диффузии.
§ 9] ДЛИНЫ ДИФФУЗИИ И ДРЕЙФА 269
Положим, что § > 0 и, соответственно, Я > 0. Это соответствует такому направлению поля, которое затягивает в образец неосновные носители. Тогда ky > 0, k2 < 0 и граничные условия дают а = 0, Ъ — (бр)„. Следовательно, бр убывает с увеличением х по экспоненциальному закону:
бр = .(бр)о exf (- у), (9.3)
где / = / (ё) есть длина, на которой бр уменьшается в е раз. Она равна
<9-4>
Если электрическое поле очень слабое (k2IL2 ;> 1), то формула (9.4) дает
l = L = Y~Dx. (9.5)
Здесь L, по определению, есть длина диффузии неравновесных носителей (ср. § 7).
В противоположном случае достаточно сильного поля (K2/L2 1)
можно положить У"14-А.2/^2— 1 +A,2/2L2 и из формулы (9.4) получается
/<8)^- = ц8т. (9.6)
В сильных электрических полях длина затягивания равна расстоянию, которое проходит пакет инжектированных носителей за среднее время их жизни (длина дрейфа).
Рассмотрим теперь случай § < 0 (X < 0), т. е. такого направления поля, которое соответствовало бы затягиванию основных носителей. Тогда ^<0, k2 > 0 и граничные условия дают b — 0, а = (бр)0. И в этом случае бр экспоненциально уменьшается с увеличением х, но длина затягивания оказывается равной
I
= - = ПП 0 + Vl+WL*)- (9.7)
Отсюда видно, что / < L, т. е. электрическое поле препятствует распространению избыточных носителей. В сильных электрических полях
'“m-я м
и при g оо, I -> 0.
Полученные результаты показывают, что вследствие амбиполярности процессов диффузии и дрейфа пакет инжектированных носителей движется во внешнем электрическом поле так, как
270
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
двигались бы неосновные носители, и объясняют типичные опыты, рассмотренные в § 7 *).
Отметим, что граничную концентрацию (бр)0, значение которой здесь для нас было несущественно, мы считали заданной. Эта концентрация зависит от интенсивности генерации g в освещенной области и от напряженности электрического поля. Ее значение можно найти, рассматривая решение уравнения непрерывности в освещенной области (при g Ф 0) и сшивая его с рассмотренным решением для неосвещенной области (g = 0), на чем, однако, мы не будем останавливаться.