Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда уровни Ех образуют дискретную совокупность, правая часть (6.11) представляет собой сумму дельтообразных слагаемых типа (5.9)*). Если же энергетический спектр
благодаря использованию стандартного адиабатического приближения, в котором тяжелые частицы считаются неподвижными. Отметим также, что представление о вырождении по R„ имеет только вероятностный смысл, — см, ниже (текст после формулы (6.11") и гл. II).
*) Следует иметь в виду, что представление о спектре такого типа есть некоторая идеализация. Дело в том, что фактически всегда имеет место взаимодействие электрона, наиример, с колебаниями решетки (не учтенное в гамильтониане (6.6)). Это взаимодействие приводит (при Т Ф 0) к «размытию» уровней — каждый уровень приобретает конечную ширину, и вместо 6-функций в (6.11) появляются регулярные выражения, характеризующиеся, однако, более или менее резкими пиками около значений В = Ёд. При достаточно слабом взаимодействии электронов с фопонамн связанное с ним уширение уровней, однако, невелк.^о, и в дальнейшем мы его рассматривать не будем.
Im Gr (х, х; Е) = ± ? | ^ (х) |2 6 (Е - Ек). (6.10)
(6.11)
38
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
непрерывен, то сумма по К фактически представляет собой интеграл и дельтообразные особенности «замазываются»: функция р(?) оказывается непрерывной (производные от нее могут иметь особенности того или иного характера).
Определение (6.11) справедливо, в частности, и в задаче о поведении одного электрона в идеальной решетке. При этом К есть совокупность трех компонент квазиимпульса р, спинового квантового числа а и номера зоны /.
Пусть разрешенные энергетические зоны не перекрываются. Тогда при каждом данном значении Е суммирование в правой части (6.11) относится лишь к одной какой-нибудь зоне, и мы можем ввести представление о плотности состояний в данной зоне:
Р/(?) = 1Г ?«(?-?*), (6.1Ю
Я е I
где символ Я е / означает, что суммирование производится по квантовым числам К при заданном (равном I) значении номера зоны.
Подчиняя блоховские функции т|зх обычному условию периодичности в объеме й, имеем предельное соотношение
'Q Yj - ^ (2яЛ)3 S dp(‘ • •)’ р
где точками обозначено выражение, не зависящее от объема й. Соответственно формула (6.11') принимает вид
91 ^ = (2L)3~ S dp 6 - Е»й-
По правилу вычисления интегралов с б-функцией надо ввести новые переменные Epic — Е, v, v', где v и v' имеют тот же смысл, что и в § 5. После этого написанная выше формула превращается в (5.3) (если, ограничиваясь одной зоной, опустить ненужный индекс /). Величина Е здесь имеет смысл энергии отдельной частицы.
В неупорядоченной системе уровни Е могут быть случайными. При этом случайными будут, вообще говоря, как сами значения Е%, так и наборы квантовых чисел X, т. е. Е% = ?\[У], Я = Я[У]. Соответственно, усредняя правую часть (6.11) по всем возможным конфигурациям поля, мы получим
-g-5 вк IV] ?fi(?-?* [V]). (6.11")
uv\
Как мы увидим в дальнейшем (§ 7), операция усреднения по случайному полю эквивалентна определению некоторого ан-
§ 6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ)
39
самбля «существенных» его реализаций, которые в большой системе осуществляются с подавляющей вероятностью. Соответствующий набор «квантовых чисел» X был выше указан. Значения этих чисел в разных существенных реализациях, разумеется, могут быть различны, но состав их при заданном — непрерывном или дискретном — участке энергетического спектра остается одним и тем же. Это позволяет перейти от усреднения по V к усреднению по X.
Положим по определению
UV0>[V]Y6(E-EK[V])=Y!P (X) АЕк6 (Е - Ех), я m а,
где АЕх — характерная разность двух соседних уровней. Тогда
р (Е) = -±- ? (X) 6 (Е - Ех) АЕх. (6.11"')
х
Как и в случае (6.11), в зависимости от природы чисел X правая часть (6.11"') представляет собой либо набор 6-функций, либо некоторую непрерывную функцию аргумента Е.
Величину &>(Х)АЕ}' мы будем называть вероятностью того, что в данном случайном поле возникнет стационарное состояние с энергией в интервале А Ех около точки ?\. Следует, однако, иметь в виду, что она нормирована не на единицу, а на полное число состояний в единице объема. Действительно, интегрируя равенство (6.11'") по энергии, мы получаем
\9(E)dE^^Yj^(X)AEx. (6.12)
Интеграл в левой части этого равенства может и разойтись. Сама функция !?(Х), однако, всегда имеет точный смысл.
В общем случае системы взаимодействующих частиц величину Е уже нельзя отождествлять с энергией отдельной частицы. Действительно, при учете взаимодействия это понятие вообще не имеет точного содержания. Тем не менее переменная Е — энергетический аргумент функции Грина — имеет и в общем случае ясный физический смысл. Именно, будем рассматривав систему с переменным числом частиц и обозначим через и ?W±o точные собственные значения ее энергии при наличии, соответственно, N и N ± 1 частиц; через М здесь обозначена совокупность квантовых чисел, характеризующих точные стационарные состояния системы. Тогда все значения аргумента Е, при которых функция р(Е) отлична от нуля, суть разности вида
