Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в принятых нами условиях результат интегрирования в (6.3) автоматически получается усредненным и по случайному полю. Действительно, по смыслу понятия «макроскопическая система» объем ее таков, что в разных его участках происходит перебор всех возможных конфигураций поля*). Технически, однако, может оказаться удобнее вычислять функцию Грина при каком-то одном виде потенциальной энергии носителя заряда, а потом уже явно выполнять усреднение по случайному полю. Последнюю операцию мы будем обозначать символом (....), где точки обозначают усредняемое выражение. Таким образом, вместо (6.5) можем написать также
Р (?) = "§¦ (Sp Im Gr (?)). (6.5')
В макроскопически однородной системе величина (Im Gr (х, s; х, s; Е))
не зависит от х, и, следовательно, интегрирование по х в (6.3) сводится просто к умножению на Q. Независимость п и р(?) от выбора объема Q (при условии его макроскопичности) здесь видна непосредственно.
Мы ввели определение (6.5) чисто формальным путем. Легко убедиться, однако, что в частном случае, когда можно говорить об одночастичном энергетическом спектре, формула (6.5) действительно дает число уровней в единичном интервале энергии, отнесенное к единице объема. В самом деле, пусть мы имеем одноэлектронную задачу с гамильтонианом
Я« = - 2^У2+У(Х)> (6-6)
где У(х)— потенциальная энергия электрона, а т0 — масса свободного электрона. Функция Грина Gr(E) определяется
*) Это утрерждение, кажущееся почти очевидным, на самом деле представляет собой гипотезу — такую же, как гипотеза об эргодичности в классической статистической механике (см. § 7).
36
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
уравнениями *)
[Е-Н (х)] Gr (х, х';Е) = --~д (х - х'), (6.7а)
[Е - Н (х')] Gr (х, х'; Е) = - ~ 6 (х - х'). (6.76)
При этом функция Gr(E) должна быть аналитпчпон в верхней полуплоскости комплексной переменной Е.
Обозначим через К совокупность квантовых чисел, характеризующих собственные значения Ех и собственные функции оператора Я:
= (6.8)
В частности, при V — 0 под К следует понимать совокупность трех компонент импульса и спинового квантового числа; если V—• периодическая функция, то X есть совокупность трех компонент квазиимпульса, спинового квантового числа и номера энергетической зоны и т. д. В общем случае системы сколь угодно больших, по конечных размеров все квантовые состояния электрона, отвечающие одночастнчпому гамильтониану, также можно пронумеровать с помощью дискретного индекса X. Он включает спиновое квантовое число сг и число т, нумерующее пространственные волновые функции электрона; т может включать в себя и зоиный индекс /. В области дискретного спектра пространственные волновые функции локализованы: они убывают при удалении от некоторых точек (или Rm), называемых центрами локализации (иногда говорят об узлах, около которых локализованы электроны).
При наличии случайного поля U(х) произвольного вида система с подавляющей вероятностью никакой пространственной симметрией не обладает. Отсюда следует, что роль квантовых чисел в областях как дискретного, так и непрерывного спектра в данном случае выполняют только сама энергия Е% и спиновое квантовое число ст. В области дискретного спектра к этому набору может добавиться еще радиус-вектор центра локализации Rm (т — номер центра). Действительно, состояния с данной энергией могут оказаться локализованными в разных точках системы. В этом смысле говорят о вырождении по отношении к величине Rm, которая тогда также может рассматриваться как «квантовое число» **). Заметим, что условная вероятность лока-
*) Мы не выписываем явно спиновые аргументы, понимая Gr как соответствующую матрицу (при X = 0 ив пренебрежении спин-орбитальной связью эта матрица кратна единичной).
**) Заметим, однако, что в данном случае термин «квантовое число» следует понимать в несколько условном смысле: компоненты вектора Rm не являются собственными значениями какого-либо оператора, действующего на «электронные» переменные. Строго говоря, это — параметры, возникающие
§6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ) 37
лизации состояния с энергией Ех в точке Rm, если имеется другое состояние с энергией Ех в точке Rm'. не обязательно есть константа: она может зависеть от Е%, Ех и Rm — Rm\ Эту условную вероятность называют двухуровневой корреляционной функцией. Она определяется статистическими свойствами случайного поля (см. § III. 3).
В силу (6.7а), (6.76) и (6.8) мы имеем
причем— в зависимости от природы чисел X— сумма по X может обозначать и интеграл. В силу указанного выше свойства аналитичности Gr мнимую часть (6.9) следует вычислять, приписывая переменной Е малую мнимую часть ie (е>0), с последующим предельным переходом е->0. Следовательно,
Нормируя волновые функции -фх в объеме получаем отсюда
что и делает очевидным сделанное выше утверждение о смысле функции р(.?). Действительно, в правой части (6.11) берется сумма по всем вырожденным уровням, принадлежащим одному и тому же собственному значению энергии Ех. В отсутствие вырождения индекс X можно отождествить с самой энергией Е%, и в сумме остается только одно слагаемое.
