Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Существует также определенная корреляция между видом функции р(Е) и кинетическими характеристиками рассматриваемой простейшей физической системы. Для определенности будем говорить об электропроводности вещества, хотя все дальнейшее в равной мере относится и к другим аналогичным кинетическим коэффициентам.
Рассмотрим сначала электропроводность на постоянном токе ст. Электроны и дырки, в равновесных условиях занимающие дискретные уровни в запрещенной зоне, могут участвовать в переносе заряда только путем перескоков (более подробно см. гл. IV); при понижении температуры вероятность последних
§ 5. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ
31
уменьшается, стремясь к нулю при Т-у 0. Следовательно, при Т-+- 0 электропроводность может быть отлична от нуля, лишь если в зоне проводимости (или дырочной) остается конечное число носителей заряда. Газ последних при этом будет, разумеется, вырожденным. Иначе говоря, в применении к рассматриваемой системе тривиально справедлива
Теорема 1: статическая электропроводность при Т = 0 отлична от нуля тогда и только тогда, когда уровень Ферми попадает в область энергий, где плотность состояний отлична от нуля и непрерывна*).
Переходя к переносу заряда при конечной температуре, ограничимся случаем не прыжковой, а обычной проводимости. Тогда тривиально справедлива
Теорема 2: если уровень Ферми попадает в область энергий, где плотность состояний равна нулю, то при достаточно низких температурах (Т много меньше характерной энергии, на которой заметно изменяется плотность состояний в непрерывном спектре)
<т~ехр(—~ Е° ^ ) . (5.10)
Здесь Ео — ближайшая к F граница области, где функция р(?) отлична от нуля и непрерывна. Правая часть (5.10) может, естественно, содержать и экспоненциальное слагаемое с большим показателем степени, отвечающее неосновным носителям. Нас здесь интересует, однако, лишь слагаемое с наименьшим температурным коэффициентом, доминирующее при не слишком высоких температурах.
Обратимся теперь к электропроводности при конечной частоте электрического поля ш, т. е. к поглощению электромагнитных волн. Очевидно, последний процесс может иметь место лишь при наличии электронов в начальном состоянии и свободных мест — в конечном. Иначе говоря, в применении к рассматриваемой системе тривиально справедлива
Теорема 3: коэффициент поглощения (испускания) электромагнитных или звуковых волн может быть отличен от нуля, лишь если
Yjh&i — Ei — Ey. (5.11)
(
Здесь соj — частоты фотонов (фононов), нумеруемых индексом f; Е2 и Ei — два значения энергии, при которых плотность состояний отлична от нуля: р{Е2)фО, р{Е\)Ф0 (условие непре-
*) Понятие «уровень Ферми», будучи чисто термодиначеским, остается в силе для любых равновесных систем.
32
ГЛ. Т. ВВЕДЕНИЕ
рывности р(?) при этом не обязательно)*). В частности, для однофотонных (однофононных) процессов мы имеем
Йш = ?2-?,. (5.1 Г)
Видим, таким образом, что, определив каким-либо способом плотность состояний как функцию энергии, мы получаем довольно полную информацию о термодинамических и кинетических характеристиках вещества. В случае рассматриваемой простейшей системы связь между р(?) и кинетическими характеристиками оказывается даже более тесной, чем следует только из указанных теорем. Действительно, вероятности переходов, ответственных за поглощение любого излучения, связаны с плотностью состояний по стандартным формулам квантовой механики, а статическая электропроводность, вычисленная с помощью кинетического уравнения Больцмана, пропорциональна
$р(?)т(?) v2(E)^dE,
где %{Е)—время релаксации импульса, v = Vp?(p)—групповая скорость электронных волн. Однако, в отличие от указанных выше теорем, эти простые соотношения не допускают непосредственного переноса на более сложный случай произвольной неупорядоченной системы. В частности, с такой ситуацией мы встречаемся при изучении оптических переходов и явлений переноса с участием локализованных носителей заряда (гл. IV, V).
С другой стороны, плотность состояний оказывается менее содержательной (и более простой) величиной, нежели, например, волновая функция. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при любом параболическом законе дисперсии функция р(?), как и в случае (5.3'), пропорциональна (Е — Ес)'!к анизотропия тензора эффективной массы не сказывается на виде плотности состояний, влияя лишь на коэффициент пропорциональности в формуле типа (5.3').
Естественно, возникает вопрос: не относится ли плотность состояний как раз к числу тех величин, которые мы ищем? Иными словами, нельзя ли перенести представление о плотности состояний на случай произвольной системы многих частиц, отказавшись, вообще говоря, от определения (5.3) и заменив его более общим, но сохранив соотношение (5.4) и теоремы 1—3? (В дальнейшем мы будем называть их теоремами о корреляции.)
