Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6 *. Влияние экситонных эффектов на хвост коэффициента поглощения
Здесь достаточно рассмотреть случай гладкого поля (В. Л. Бонч-Бруевич, В. Д. Искра, 1975). Действительно, влияние поля заряженной примеси становится существенным лишь при достаточно большой ее концентрации, когда п,г1~>. 1. При этом, однако, и сам экситон обычно перестает существовать как стационарное состояние (§ 11.15).
Ограничимся, далее, случаем гауссова поля: как уже отмечалось в § 2, получающиеся при этом результаты с логарифмической точностью остаются в силе для довольно широкого класса случайных полей. В данной задаче удобно не вводить массовый оператор типа (5.14), а поступать по образцу § 2.
Введем в уравнении (5.2) координаты Якоби (II. 15.2) и представим функцию /Ст (Ri, rf, R2, г2; со) в виде
KT(Ri. Гь R2. г2; <о) =
= ^ dco' dR' dr' nF (со') К (Ri, R', г'; со) {/„ (R', r'; R2, r2; со') —
-/?(R',r';R2, r2;co')}. (6.1)
§ 6*. ВЛИЯНИЕ ЭКСИТОННЫХ ЭФФЕКТОВ 315
При этом для функции К получится уравнение
{ со — Eg + VI + V2r - U(R, г) — I/ (г) } (R, г; R', г'; со)=
= — 6 (R — R') 6 (г — г'), (6.2)
где , как и в § II. 15, через М и тг обозначены полная и приведенная эффективные массы, а функция ?7(R, г) дается выражением (II. 15.4). Ограничимся по-прежнему условиями (5.9). Тогда, согласно (6.1), (6.2) и (5.1), мы получаем (сравните с (П.ХП.13) и (П. XII.14))
оо
а (со) ~ lim Re ^ ds UrV* fa (R — R') S (r - r')>, (6.3)
r->0 J J r'->0 0
где
L = exp {is [If Vr + Vr2 - U (R, r)-V (r)] } . (6.4)
Как и в § 2, разложим U в ряд Тейлора по г, сохраняя лишь первые два члена разложения. Получим
L = ехр {— is (Н0 + б Я)} ехр Vr) , (6.4')
где
H0 = -^V*+V(r), 6Н = (г, VrU (R)). (6.5)
Дальнейшее зависит от соотношения между боровской энер-
гией экситона и характерной энергией электрона в случайном поле. Согласно (2.10) последняя в данном случае дается выражением
&*)“ (м)
При Ев <С Е экситонные эффекты не играют роли: случайное поле «разрывает» экситон (§ 11.15), и мы возвращаемся к задаче, изученной в § 2.
Ограничимся поэтому случаем
Ев > Ё. (6.7)
Как мы знаем, аппроксимация, которая приводит к (6.5), состоит в пренебрежении пространственными производными от градиента потенциальной энергии электрона в случайном поле, т. е. от напряженности случайного поля. Иначе говоря, независимо от фактической природы U (г) мы получаем формально ту же задачу, что и в однородном электрическом поле напряженности V.U/e.
316 гл. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
В условиях (6.7) здесь можно воспользоваться стандартной теорией эффекта Штарка. Если потенциальная энергия У (г) имеет чисто кулоновский вид, то, как известно [19], собственные значения оператора Яо + SH даются выражением
Еп^т = Еп + ап>П21 S | - ЬП1ПР + О (S3). (6.8)
о ав
Здесь т, п2, т.— целые числа или нули, S = -=r- VU — безраз-
?в
мерная напряженность поля,
fi = fii -f п2 -f | т |-f 1, Еп = — Ев/п2,
з
аП[п, = j EB {п\ — п2) п,
bnin! = -jb Ев [17п2 - 3(л, - п2)2 - 9т2 + 19]. (6.9)
Соответствующие волновые функции Фn nim удобно выражать в параболических координатах ? = р + г, г] = р — г, ср (р — радиальная координата, ср — азимутальный угол).
Второе слагаемое в правой части (6.8) описывает линейный эффект Штарка. Видимо, в рассматриваемой задаче оно несущественно. Действительно, во-первых, это слагаемое появляется только в рамках чисто водородной модели. Во-вторых, явная оценка вклада, вносимого им в интеграл (6.3), показывает, что этот вклад мал, коль скоро
(Eg —а + Ев)2 > ^ а2ЩпЛ^ •
Ь Ев
По этой причине в дальнейшем мы ограничимся учетом только квадратичного эффекта Штарка.
С учетом (6.4) интеграл по R' в правой части (6.3) легко вычисляется. Для реализации оператора С в применении к функции 6(г—г') удобно представить последнюю в виде разложения по функциям Фп,пгт и воспользоваться приближенным соотношением
(Но -(- 5Я) Фп,пт — Еп1птфп1пт' (6.10)
Таким путем легко находим
а (со)= ? апт (со), (6.11)
. .. Дь ЯЗ
где
оо
ал,т(сй) ~ Re ^ ds ехр [w (со — Eg) — Еп] X
; 0
X (ехр {isbn.n,S2}m=0)| Ф„1Пг0 (|=0, Т1 = 0) р. (6.12)
5 б*. ВЛИЯНИЕ ЭКСИТОННЫХ ЭФФЕКТОВ
