Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Одно из таких понятий — плотность состояний. Оно естественно возникает еще в элементарной теории идеального газа и широко используется в физике твердого тела. Напомним элементарное определение этого понятия, справедливое в применении к носителям заряда в идеальном кристалле (или просто к частицам идеального газа). Пусть рассматриваемые частицы (или квазичастицы) образуют фермиевский газ и характеризуются импульсами (или квазиимпульсами) р, проекциями спина ст и энергиями ?(р, ст)**). Как известно [1], концентрация частиц п дается выражением
n = l?ktflL \ dPnFW(p, а)], (5.1)
________________ а
*) Так, понятие волновой функции всей системы принадлежит, разумеется, к числу точных. Однако волновая функция сложной системы обычно содержит слишком много информации — больше, чем фактически требуется для интерпретации большинства экспериментальных данных.
**) Мы сохраняем индекс ст у энергии, имея в виду систему во внешнем магнитном поле 36. Учет спин-орбитального взаимодействия требует лишь иной интерпретации величины ст— ее надо рассматривать в этом случае как проекцию полного момента количества движения.
§ 5. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
29
где
nF (Е) = [exp ( E~f—) + 1] (5.2)
есть функция Ферми.
Введем в (5.1) новые переменные интегрирования: ?(р, а) = = Е, v, v', где v и v' — две какие-нибудь подходящие величины (это могут быть, например, полярные углы вектора р). Якобиан перехода от переменных рх, ру, рг к переменным Е, v, v' обозначим через Zo(E,v,v') и введем обозначение
W = 7W Sdv dv'Z°(?’ v’ v/)> (5-3)
Получим
n=Yj\ ?о(Е)пв(Е)йЕ- (5-4)
О
Величина ра(?) называется плотностью состояний. Смысл названия ясен из формулы (5.4): ра(Е) dE есть, очевидно, число
дозволенных электронных состояний (с данным спином) в ин-
тервале энергии dE*). В дальнейшем мы будем для краткости всюду, где возможно, опускать спиновые индексы. Вычисление р(?) не представляет труда, коль скоро известен закон дисперсии, Е = Е(р). Так, например, для электронов проводимости в простой зоне мы имеем
Е(р) = Ес + р2/2т, (5.5)
где Ес — нижняя граница зоны проводимости, т — эффективная
масса. В качестве v и v' здесь удобно выбрать полярные углы
0, ф; при этом для якобиана Z мы получаем (при Е ^ Ес):
Z (Е, 0, <р) = д/2т3 л/Е — Ес sin 0. (5.6)
Согласно (5.5) область Е < Ес при вещественных значениях р не дозволена (запрещенная зона). Формулы (5.3) и (5.6) дают теперь
= Е»Е" (5.3')
I О, Е < Е,.
Как видно из формулы (5.4), зная плотность состояний р(?), мы можем найти явное выражение для концентрации частиц как функции уровня Ферми, температуры, напряженности маг-
*) Часто определяют плотность состояний как Zj Ра(?)-Это бывает удоб-
а
но, когда эффекты, связанные с наличием спина, не играют роли.
80
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
нитного поля и других аналогичных величин. После этого все равновесные характеристики системы (теплоемкость, магнитную восприимчивость и т. д.) можно найти уже чисто термодинамическим путем. Иначе говоря, вся конкретная информация, необходимая для вычисления термодинамических характеристик системы, содержится в виде функции р(?).
Легко обобщить определение плотности состояний на случай, когда в энергетическом спектре системы имеются и дискретные уровни (например, локальные уровни в запрещенной зоне, связанные с наличием примесных атомов или иных структурных дефектов кристаллической решетки). Действительно, концентрация электронов на локальных уровнях дается выражением [3]
n(?<) = JV([g(exp(-^-^) + l] '• (5.7)
Здесь через Nt, gt и ?* обозначены, соответственно, концентрация уровней, фактор вырождения и энергия уровня. Введем «эффективную энергию»
E] = Et + Tlngt. (5.8)
Тогда концентрацию электронов на локальных уровнях можно представить в виде такого же интеграла, как и в (5.4). Надо лишь определить плотность состояний, связанных с локальными уровнями, равенством
р (Е) = Ntb (Е - Et). (6.9)
Таким образом, при наличии дискретных энергетических уровней плотность состояний имеет дельтообразные особенности при Е = Е1
Из формул (5.3), (5.3') и (5.9) явствует, что вид плотности состояний как функции энергии отражает характер энергетического спектра системы. Именно, функция р (Е) отлична от нуля и непрерывна в области непрерывного спектра, имеет особенности в точках дискретного спектра и обращается в нуль в области запрещенных значений энергии.
