Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
nta3B > 1,
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
§ 4. ПОГЛОЩЕНИЕ В ПРИМЕСНОМ СЛУЧАЙНОМ ПОЛЕ
307
Коль скоро в качестве Vа фигурирует экранированный кулонов-ский потенциал, выражение (4.4) расходится в нуле. Таким образом, прямое применение квазиклассического метода в данном случае невозможно.
Выход можно найти, если просуммировать бесконечный ряд наиболее сингулярных членов квазиклассического разложения по ft2 [35]. Соответствующее вычисление одночастичной запаздывающей функции Грина содержится в Приложении XIV. При этом предполагается выполнение неравенств
(^ав)_2/5(авАо)2<1 (4-5)
и
mclmv<. 1. (4.6)
Последнее неравенство используется лишь для упрощения вычислений. Оно фактически выполняется во многих полупроводниках. Подставляя одночастичные функции Грина (П. XIV.16) и (n.XIV.17) в общую формулу (1.14) и выполняя интегрирование по со', как в Приложении XIII, мы получаем
оо
ег (со) = -^2- 5 ds jj dk ехр [— is(Ea — Лео + G (s), (4.7)
— 00
где ^
0 (s) = ^exp j — is ^ dt ^ dq e'&U (q) X
X [“P (- “-Tsf) - exP (- "ткг)]}> <4'8>
Как видно из формулы (4.8), в ег(со) входит разность «перенормированных» потенциальных энергий электрона в зоне проводимости и в валентной зоне, которая при mv Ф тс отлична от нуля за счет квантовых поправок. (При ft-> 0 мы получаем G(s)->1—случайное поле не влияет на картину поглощения.)
Обратимся к усреднению по конфигурациям примеси. Положим в (4.8)
U (q) = Z ехр (-- iqRa/) Ua (q), (4.9)
а, /
ГДе
^(ч)=-^-(^ + го"2)-1 (4.10)
есть фурье-образ экранированного потенциала отдельного центра а-го типа. Тогда выражение (4.8) принимает вид
G (s) = (ехр { ? f (R - Rah s)}) , (4.11)
308 ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
где функция / (R —Ra/, s) относится к отдельному примесному центру. Явный вид ее ясен из формул (4.8) — (4.10). Выполняя усреднение, будем рассматривать простейшую ситуацию, когда заряженные центры расположены совершенно некоррелированно и в среднем равномерно; при этом справедливы формулы (II. 7.27) — (II. 7.32), и мы получаем (в пределе при Na ->оо,
ОО, Па —Na/Q < °°)
G (s) = ехр {? па\ dR[exp(/(R, s)) — 1] J- (4.12)
Как будет видно из дальнейшего, в условиях (4.5) в интеграле по s главную роль играют сравнительно небольшие значения s, в силу чего выражение (4.12) можно переписать в виде
exp{Z Па S rfIUexP(/(R> s))— l] j ~
** ехр|4 Yj s)|- (4.12')
Здесь было использовано равенство
J/(R, s)dR = 0,
вытекающее из определения f(R,s) и условия полной нейтральности образца. Вычисляя в (4.12') интеграл по R и переходя к
безразмерным переменным интегрирования, получаем
Г ti.e4r0s2 1
G (s) = expj----------(Jcc - ZJCV + /„) |. (4.13)
S «< i ЧГ \ (T^jr <4 ~lf (i + ' <*• “>
В силу (4.5) в наиболее существенной области интеграла по s в (4.7) выполняется неравенство
¦ -^<1. (4.15)
т1г0
В первом порядке по параметру, стоящему в левой части (4.15), мы получаем
-”г{1 - ТГ Т'siB”s)п‘т‘'х
где
hi'
§ 4. ПОГЛОЩЕНИЕ В ПРИМЕСНОМ СЛУЧАЙНОМ ПОЛЕ 309
Подставляя (4.16) в (4.13) и пренебрегая членами порядка
mc/tnv, находим *)
G (s) = ехр {—5,1(1 + i sign s) | s |5/2?о/2}, (4.17)
где
Ef = (nta\)Ef, (4.18)
а Ев есть воровская энергия в кристалле:
Ев = mce4/2e2h2.
В асимптотической области, в которой
(Еа-На)/Е0>1, (4.19)
равенства (4.7) и (4.17) дают
е2 (со) ~ ехр {- ((Eg - ha)/2E0f3}. (4.20)
Основной экспериментальный интерес представляет, однако, область, расположенная не слишком далеко от края поглощения. Так, при энергиях фотона, удовлетворяющих неравенствам
0^(ЕВ — Н<о)/Е0^4, (4.21)
правая часть (4.7) аппроксимируется экспонентой [35]:
е2 (to) = А ехр {S„ • (ha — Eg)}. (4.22)
Здесь А — медленно меняющаяся функция частоты, а
