Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
294
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
нием (2.18). Можно, однако, построить полуфеноменологиче-скую теорию (Б. Эссер, Р. Кайпер, П. Кдяйнерт, 1976), единым образом описывающую обе зависимости — асимптотику (2.11) и пороговую формулу (1.3.5). Для этой цели заменим плотности состояний рс и р0 в (1.9) локальными их значениями (II. 13.2), введя в аргументы функций Грина индексы с, и. Тем самым неявно принимаются во внимание возможные коротковолновые флуктуации случайного поля (они могут иметь и другую природу, нежели длинноволновые). Естественно, результат надо будет еще дополнительно усреднить по плавным флуктуациям, которые как раз и описываются моделью гладкого поля, использованной выше в этом параграфе. Таким образом, вместо (1.9) мы получим
Re а (со) ~ — ^ dE (рс (х, Е) pu (х, Е — /гсо))гл; (2.19)
символ (.. ,)гл означает здесь усреднение лишь по гладкому полю. Это поле мы будем для простоты считать гауссовым (в асимптотической области это ограничение несущественно).
В рамках принятой модели плотности состояний рс и р0 надо вычислять с помощью функций Грина, полученных в Приложении XII. Производя вычисления в полной аналогии с предыдущими выкладками, описанными в этом параграфе, мы получаем из (2.19) (в соответствующих интервалах частот) как экспоненциальный хвост (2.11), так и квадратичный закон (1.3.5).
Формулы (2.8), (2.11) не содержат в явном виде температурных эффектов. Это есть следствие условий (1.7) и пренебрежения взаимодействием носителей заряда с фононамн. Очевидно, такая постановка задачи имеет смысл при достаточно низких температурах (в частности, при 7'<?i = S-1). С другой стороны, при Т Е влияние статического случайного поля становится не очень существенным и главную роль в образовании хвоста коэффициента поглощения играют многофононные переходы (А. С. Давыдов, 1968).
Б) Неодинаковое искривление зон*): Uc(x)?= Uv(x). В этом случае говорят о флуктуациях ширины запрещенной зоны. Локальная оптическая ширина запрещенной зоны есть
Eg(x) = Uc(x)-Uv(x). (2.20)
Она различна в разных частях образца. Как отмечалось в § 1, здесь может быть достаточна чисто классическая трактовка:
*) Так может обстоять дело, например, в результате зависимости псевдопотенциала от энергии (§ II. 8) или при рассмотрении случайного поля, обусловленного потенциалом деформации.
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ 295
квантовыми поправками можно пренебречь, коль скоро удовлетворяется неравенство
[-?<(Vt/c)2> + ^<№)2>]1/3 « Шис - Uvf)]m, (2.21)
т. e. коль скоро достаточно велики флуктуации ширины запрещенной зоны (правая часть неравенства (2.21)). В этом случае в функции Грина (П. XII.25) можно положить фс = ф0 = 0. Подставляя функции Грииа, вычисленные в этом приближении, в формулу (1.14) и выполняя интегрирование по со' (по-прежнему в условиях (1.7)), мы получаем
е2 (со) =
ОО
= \ ds \ rfks(s)exP[~ is (Eg — ha + h2k2/2mr)\, (2.22)
— 00
где
В (s) = (exp [— is (Uc (R) — Uv (R))]). (2.23)
Для гауссова функционала !?[UC, Uv] усреднение в (2.23) выполняется по формуле (П. XII.35) и выражается через корреляционные функции (П. XII.36). Таким путем мы получаем
?(s) = exp(— (2.24)
где
i|)i = -J- 2гф1Си (2.25)
Фш' = ^/г(0). (2.26)
В частности, при Uc = Uv мы имеем Ч^с = 'lF00 = и г|>“ = 0. С другой стороны, для статистически независимых случайных полей = 0, т. е. = г|з\сс + г|з\w-
В асимптотической области, т. е. при
(Eg — Й(о)/(г|>Г)1/2 » 1, (2.27)
вычисление интеграла в (2.22) дает (Е. В. Бурцев, 1972)
е2 (со) = С ехр [— (Eg — Йи)2/2-фГ]. (2.28)
Множитель С здесь представляет собой сравнительно медленно .меняющуюся функцию частоты. Видим, что в этом случае вид функции е2 на хвосте в основном воспроизводит ход плотности состояний.
296
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
Заметим, что функцию B(s) (см. (2.24)) можно представить в виде
оо
B(s)= ^ dxP(x)e~iS!C. (2.29)
— оо
Мы ввели здесь функцию распределения для флуктуаций ширины запрещенной зоны
Р (д:) = [2зт (г^Г )1/2D 1/2 ехр (— x2j2tyi). (2.30)
Таким образом, формула (2.22) эквивалентна представлению
(Д. Л. Декстер, 1958)
оо
е(со)= ^ dx Р (я) е(0) (со, Eg-\- х), (2.31)
— ОО
где е(0)(со, Eg -f х) есть диэлектрическая проницаемость кристалла с шириной запрещенной зоны Eg -f х.
Как и в случае А), при достаточно большой частоте света, когда
