Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 179

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 193 >> Следующая


Определение 9.8. Сконструированные модельные особенности вида U2n/G мы будем называть особенностями типа «почти прямого произведения». Все особенности, лиувиллево эквивалентные этим модельным особенностям, мы также назовем особенностями типа «почти прямого произведения».
392

Глава 9

Теорема 9.12 (Т. 3. Нгуен). Любая невырожденная многомерная особенность, удовлетворяющая условию нерасщепляемости, является особенностью типа почти прямого произведения.

В этом смысле типичные, т. е. нерасщепляемые, многомерные особенности полностью описываются при помощи 2-атомов и 4-мерных особенностей типа фокус-фокус.

Мы опускаем здесь доказательство этой теоремы в произвольном многомерном случае. Для четырехмерного случая она уже была доказана нами выше.

Замечание. Следует подчеркнуть, что теорема 9.12 носит существенно топологический, а не симплектический характер. Более точно, утверждается, что любая невырожденная нерасщепляемая особенность послойно гладко эквивалентна некоторой модельной особенности типа почти прямого произведения. Но это послойное отображение (диффеоморфизм) отнюдь не обязано быть симплектоморфизмом. То есть симплекти-ческая форма на почти прямом, или на топологически прямом произведении может не быть прямой суммой симплектических структур прямых сомножителей.

В качестве примера приведем полученную В. В. Калашниковым (мл.) классификацию шестимерных особенностей типа седло-седло-седло сложности один, т. е. с одной критической невырожденной точкой ранга ноль на особом слое.

Теорема 9.13 (В. В. Калашников (мл.)). Пусть особый слой L типа седло-седло-седло в шестимерном симплектическом многообразии содержит ровно одну особую невырожденную точку. Все такие различные особенности перечислены в таблице 9.4. Таким образом, всего насчитывается ровно 32 разных особенности. Комментарий. Стоит отметить, что все эти особенности «изготовлены» всего лишь из четырех различных 2-атомов, а именно: В, Di, С2, Ра- Все эти 2-атомы показаны на рис. 9.64, рис. 9.65, рис. 9.66, рис. 9.67. Никаких других, более сложных атомов здесь, как выяснилось, не появляется.

Классификация указанных особенностей дана в терминах почти прямых произведений 2-атомов. Во втором столбце таблицы указаны три сомножителя, образующих данную особенность. В последнем столбце таблицы 9.4 указана группа G, действующая на прямом произведении этих 2-атомов. После факторизации по ней, получается сама особенность. Действие группы G описано в третьем столбце таблицы. Во всех случаях (кроме случая 19) группа G является прямым произведением нескольких экземпляров группы Z2, и поэтому имеет к естественных образующих (где к — число сомножителей). Для каждой из этих образующих в третьем столбце таблицы указано ее действие на прямом произведении трех 2-атомов. Поскольку это действие является покомпонентным, то мы указываем соответствующие отображения (симметрии 2-атомов) на каждой компоненте. Список всех необходимых симметрий приведен на рис. 9.64-9.67.

Например, особенность номер 8 получается так. Нужно взять прямое произведение трех 2-атомов С2 х Dx х С2 и рассмотреть на нем действие группы Ъ2®Ъ2®Ъ2. Эта группа действует на произведении трех 2-атомов покомпонентно следующим образом.

Первая образующая е\ группы Z20Z20 Ъ2 действует так:

ех{С2 х Dx х С2) = (а(С2) х id(Dx) х р(С2)).
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

393

с Агора С„

Рис. 9.65

А ТОЛ1 Р,

(Рч)

Атом

Рис. 9.67
394

Глава 9

Вторая образующая е2 группы Z2 ® Z2 ® Z2 действует так: е2{С2 х^х С2) = (id (С2) х c*(L>i) х /?(С2)).

Третья образующая ез группы Z2 ® Z2 ® Z2 действует так: е3(С2 XD1X <72) = (Р(С2) х id^) х а(<72)).

Здесь а и Р — симметрии 2-атомов, показанные на рис. 9.65, рис. 9.66. На этих рисунках указаны образы ребер одномерных остовов 2-атомов. По этой информации сама симметрия (действующая на атоме в целом) легко восстанавливается.
Таблицы к главе 9

Таблица 9.1
396

Глава 9
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

397

1-тип

Особый слой L

Круговая молекула

а с b d
3 1 3 1
ь d а с
4 2 4 2
а с b d
3 2 4 1
а d а d
3 2 4 1
ь с b с

а с b d
3 1 3 1
а с ь d
4 2 4 2
а с b d
3 1 3 1
а b d с
4 2 4 2
а b d с
**¦

v-A

#-***

А

А

1

8

9

10

11
398

Глава 9
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

399

1-тип

Особый слой L

Круговая молекула

а b с d
' 4 2 2 4 '
с d а b
3 1 1 3
а b с d

а b с d
1 2 3 4 '
d а b с
1 4 3 2
а b с d
О

В

%

В

а



**

15

16

с b d а
1 3 1 3 1 '
а d b с
4 2 4 2 4
с b d а
17
400

Глава 9
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

401
402

Глава 9
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

403
404

Глава 9
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed