Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Н = Н(х, у, и2+v2), / = /(ж, у, и2 +v2)
Рис. 9.62
Рис. 9.63
390
Глава 9
Комментарий. Еще один механизм возникновения расщепляемых особенностей появляется в гладком случае. Здесь проявляется отличие от аналитического случая, где такой механизм не действует. Это — уже знакомое нам, по главе 1 тома 1, расщепление дуг бифуркационной диаграммы в особой точке диаграммы. Рассмотрим невырожденную особенность аналитического лиувиллева слоения. Оказывается, бывают такие ситуации, когда при аналитическом возмущении эта особенность не меняет своего топологического типа, а при подходящем гладком возмущении, — меняет. Связано это (см. главу 1) именно с тем, что гладким возмущением можно расщепить одну из дуг диаграммы X в некоторой особой точке. Например, на две дуги, касающиеся друг друга в точке расщепления. Аналитическим же возмущением такого расщепления добиться нельзя.
Комментарий. Следует отметить, что мы частично изменили терминологию, использовавшуюся в первоначальной работе Т. 3. Нгуена. Он называл описанные выше особенности «устойчивыми». Мы же назвали их «удовлетворяющими условию нерасщепляемости». Дело в том, что обычно под термином «устойчивость» понимается устойчивость по отношению к каким-либо возмущениям. На самом деле, между устойчивостью в этом смысле и понятием нерасщепляемости, конечно, существует некоторая связь, что, в частности, показывают приведенные выше примеры. Тем не менее, эти условия не эквивалентны.
Особенности интегрируемых систем, устойчивые по отношению к малым возмущениям системы, т.е. гамильтониана и интеграла, обсуждаются в приложении, написанном В. В. Калашниковым (мл.).
Опишем теперь простой и естественный способ конструирования многомерных особенностей слоения Лиувилля. Возьмем простейшие особенности, то есть двумерные атомы и четырехмерные особенности типа фокус-фокус, которые описаны и классифицированы в предыдущем разделе. Возьмем прямое произведение какого-то числа таких двумерных и четырехмерных особенностей, т. е. многообразий, расслоенных, соответственно, на окружности и на 2-торы.
После этого следует домножить получившееся многообразие на «тривиальный сомножитель», являющийся прямым произведением вида Тг х ?)г, т.е. произведением тора на диск. Эти сомножители снабжены естественным слоением Лиувилля без особенностей.
На каждом сомножителе была какая-то симплектическая структура и структура элементарного слоения Лиувилля, задаваемого коммутирующими функциями. Ясно, что на всем прямом произведении естественно возникает некоторая симплектическая структура, получающаяся как прямая сумма симплектических структур сомножителей. При этом и функции естественным образом продолжаются с прямых сомножителей до полного набора коммутирующих функций на прямом произведении.
Таким образом, на описанном прямом произведении естественно возникает структура слоения Лиувилля: его слоями являются прямые произведения слоев элементарных слоений Лиувилля на сомножителях.
Многомерные особенности описанного типа мы будем называть «особенностями типа прямого произведения». Конечно, здесь мы рассматриваем эти особенности с точностью до лиувиллевой эквивалентности.
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
391
Эту конструкцию можно слегка обобщить, введя класс особенностей, которые естественно назвать «почти прямыми произведениями». Расширение класса происходит также очень естественным способом. Рассмотрим модельную особенность U2n = Vi х V2 х ... х Vp типа прямого произведения со стандартной симплектической структурой на нем, полученной прямым суммированием сим-плектических структур сомножителей. Здесь Vk — описанные выше сомножители трех типов: Vk является либо 2-атомом (типа А или седловым), либо четырехмерной окрестностью слоя типа фокус-фокус, либо тривиальным расслоением на торы Тг х D1.
Пусть теперь на этой особенности типа прямого произведения действует некоторая конечная группа G, причем действие удовлетворяет следующим условиям.
1) Действие свободное.
2) Действие покомпонентное, т. е. группа G переводит в себя каждый из прямых сомножителей Vk- Это означает, что действие группы G коммутирует с проекциями прямого произведения на каждый из прямых сомножителей. Другими словами, если g — элемент группы G, а <р — действие на U2n = Vi х V2 х ... х Vp, то действие <р имеет вид:
<p(g)(x 1, ... , хр) = ((p1(g)(x1), ... , <fip(g)(xp)), где (pk — действие группы G на компоненте Vk-
3) На каждом прямом сомножителе действие <pk является симплектическим и послойным, т. е. сохраняет структуру слоения Лиувилля. Более того, будем предполагать, что действие <pk сохраняет и соответствующие функции (см. выше), определяющие слоение Лиувилля.
4) На каждом эллиптическом прямом сомножителе Vs, — т.е. попросту на 2-атомах А, — действие <р8 группы G является тривиальным.
Рассмотрим фактор-пространство U2n = V\ х V2 х ... х Vp по такому действию группы G. Этот фактор U2n/G будет многообразием, поскольку действие группы G — свободное. На фактор-многообразие U2n/G также переносятся все описанные структуры. А именно, — симплектическая структура и структура слоения Лиувилля. В результате получается симплектическое 2п-мерное многообразие U2n/G, со слоением Лиувилля, определяемым набором из п коммутирующих гладких независимых функций. Это слоение Лиувилля обладает особым слоем, на котором происходит бифуркация n-мерных торов Лиувилля. Итак, мы построили некоторую многомерную особенность.
