Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку число оборотов, совершаемое вектором v(t), не является целым, то нам понадобится некоторая дополнительная конструкция. Дадим точное определение.
Шаг 1. Восстановим по .R-вектору функцию вращения p(t) с точностью до сопряженности. Затем мы восстановим по p(t) функцию угла
ip(t) = arcctg p(t): t —» S1.
Углы -0(0) и -0(1) всегда удовлетворяют некоторым естественным ограничениям, сформулированным выше при обсуждении перекрестных ограничений 2-го типа. См. пункт 3.
Шаг 2. Отметим, что интегрируемую невырожденную систему v можно всегда так пошевелить в окрестности атома А на ребре, чтобы предельное положение вектора системы совпало по направлению с любым наперед заданным вектором v = аХ + Ьр, где b > 0. Здесь А и р — допустимая система координат. Доказательство следует из того факта, что в окрестности атома А система движется по торам Лиувилля, являющимся граничными торами «тонкого» полнотория с
д д
очень «маленьким» меридианом. Запишем поле в виде v(t) = a(tW-----Ь b(t) ^—.
Ulpi (JCp2
Здесь переменная-угол отвечает сжимающемуся циклу А, и поэтому, рассматривая произвольные конечные возмущения функции a(t), мы будем получать
Траекторная классификация. Второй шаг
313
малые возмущения поля v (в смысле (7°-метрики). Итак, шевеля систему, мы можем произвольно менять предельное положение вектора v в некоторой полуплоскости.
Шаг 3. Шевельнем систему в окрестности атома А так, чтобы предельное
положение угла “ф стало кратным Этим условием оно будет определено одно-
значно, поскольку мы не имеем права выходить за пределы полуплоскости.
Отметим, что в окрестности седлового атома шевеление системы не влияет на предельное положение вектора, но здесь и без этого шевеления предельное положение вектора v уже совпадает с одним из базисных циклов А-, А+ (в зависимости от того, начало или конец ребра мы рассматриваем). Таким образом, предельное положение угла кратно ^ автоматически.
Шаг 4. После этого определим индекс ind R системы v на ребре, поло-
• 1 т-» _ (^0(1) — V’(o)) Т1
жив indit = 2-------—-----. Индекс не зависит от выбора шевеления системы.
Ясно, что он полностью определяется лишь вектором вращения R и типом ребра.
Замечание. Это определение впервые возникло в теории бордизмов интегрируемых гамильтоновых систем и принадлежит А. В. Болсинову и Т. 3. Нгуену. Оно было, в частности, использовано Т. 3. Нгуеном в работе [342] для построения примера интегрируемой системы не бордантной нулю.
8.6.2. 6-инвариант (на радикалах молекулы)
Подобно тому, как выше было введено понятие семьи молекулы, мы введем сейчас еще одно аналогичное понятие — понятие радикала, как части молекулы.
Напомним, что ребра молекулы с конечными r-метками мы называем конечными, а ребра с бесконечными г-метками — бесконечными.
Определение 8.4. Бесконечные ребра, векторы вращения которых R бесконечны, т. е. состоят только из бесконечных компонент, назовем супербесконечными.
Во избежание путаницы термин «бесконечное ребро» мы в дальнейшем будем употреблять только для ребер, не являющихся супербесконечными.
Разрежем молекулу W* по всем конечным и бесконечным ребрам, не являющимися супербесконечными. В результате молекула распадется в несвязное объединение некоторых подграфов двух типов: атомы А и куски, не содержащие ни одного атома А. Дело в том, что ребра, инцидентные атому А, не могут быть супербесконечными. Это вытекает из того, что крайние компоненты вектора вращения, инцидентные с А, обязаны быть конечными. См. определение допустимого i-оснащения в параграфе 5.
Определение 8.5. Радикалами будем называть связные куски второго типа, т. е. отличные от А. Будем обозначать радикал буквой U.
Отметим, что все ребра, целиком входящие в радикал, являются супербесконечными. Каждая семья молекулы распадается в сумму некоторого числа радикалов. Однако существуют радикалы, не содержащиеся ни в одной семье.
314
Глава 8
Рассмотрим произвольный радикал U молекулы W* и все ребра, инцидентные с ним, т. е. такие, что хотя бы один их конец принадлежит радикалу. Ребра, целиком содержащиеся в радикале, т. е. супербесконечные ребра, естественно назвать внутренними ребрами радикала. Остальные инцидентные с ним ребра назовем внешними по отношению к данному радикалу. Они ему не принадлежат.
Каждому ребру ej, инцидентному с радикалом U, сопоставим целое число [9\j по следующему правилу:
Щз = <
А
3 J
[МД+] ,
-\-мн: ъ
если ej — конечное ребро, выходящее из радикала U,
если ej — конечное ребро, входящее в радикал U,
если ej — бесконечное ребро, входящее в радикал U,
если ej — бесконечное ребро, выходящее из радикала U,
если ej — супербесконечное внутреннее ребро.
