Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Следуя уже примененному однажды приему, берем «узкие 3-атомы» Q3 в Q и для каждого из них строим требуемую интегрируемую систему на Q3 х (—1, 1), в соответствии с леммой 8.4 о реализации системы на атоме. Это означает, что мы задали на «узких 4-атомах» Q3 х D1 симплектическую структуру. Все эти структуры задают на М4 одну и ту же ориентацию. Это следует из явной формулы для приведенной в доказательстве леммы 8.4. Заметим, что при этом мы автоматически реализовали все объекты из избыточного оснащения, за исключением векторов вращения. Далее, с помощью леммы 8.6 мы можем продолжить симплектическую структуру на каждое из ребер молекулы таким образом, чтобы получить на этом ребре требуемый вектор вращения R+. Тогда в силу сказанного ранее, вектор R~ восстановится однозначно по R+ и соответствующей матрице склейки.
При этом все условия применимости леммы 8.6, накладываемые на характер поведения функции вращения на концах ребер, автоматически выполняются в описанных выше ограничениях на оснащение. Нужно также проверить условие о согласованности ориентаций пары векторных полей sgrad Н и sgrad / на концах ребер, для применения леммы 8.6. Это вытекает из следующего соглашения об ориентации многообразий М4, Q3 и граничных торов атома Q3.
Траекторная классификация. Второй шаг
311
Симплектическая структура на М4 задает такую ориентацию, что для любой функции /, независимой с Н, четверка векторов
sgradН, grad i/, sgrad/, grad/
имеет положительную ориентацию. Это верно для любой пары функций. Поскольку grad Я ф 0 всюду на Q, то мы положим по определению, что тройка
sgrad Я, sgrad/, grad/|Q3
задает положительную ориентацию на Q. Здесь / — произвольный интеграл векторного поля sgradН, и от его выбора, как легко видеть, ориентация не зависит.
Наконец, ориентацию на граничных торах Лиувилля мы определяем с помощью внешней нормали. В результате, пара
sgradН, sgrad/
задает на граничном торе атома положительную ориентацию тогда и только тогда, когда вектор grad/|g3 направлен наружу из атома.
Итак, имея естественную ориентацию на М4, мы можем естественным образом задать ориентации на граничных торах атомов. Из сказанного сразу следует, что если в качестве / взять функцию монотонно меняющуюся на ребре, то ориентация пары sgradН, sgrad / на начале и на конце ребра будет одинаковой, что и требуется.
Теорема реализации доказана. ¦
8.6. Построение траекторных инвариантов в
топологическом случае. Определение ^-молекулы
В этом параграфе мы построим траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, следуя первому общему принципу, сформулированному выше. Другими словами, траекторные инварианты будут построены как некоторые функции на множестве избыточных ^-оснащений, инвариантные относительно действия группы замен GP.
8.6.1. Д-инвариант и индекс вращения на ребре
Пусть дана молекула W* и пусть е — произвольное ребро, на котором заданы два вектора R+ и R~.
Определение 8.3. В качестве инварианта, стоящего на ребре е с меткой г / оо, мы возьмем вектор R = (3R~ — а. В качестве инварианта, стоящего на ребре е с меткой г = оо, мы возьмем вектор вращения R~ по модулю 1. Будем иногда обозначать этот инвариант R mod 1.
Вектор R на конечном ребре и вектор R mod 1 на бесконечном ребре молекулы мы будем называть R-инвариантом системы на данном ребре.
312
Глава 8
Комментарий. В этом определении вычитание числа из вектора понимается так: из каждой компоненты вектора вычитается это число. При этом оо — а = оо. Говоря о R mod 1, мы имеем в виду, что все компоненты вектора определены с точностью до целого числа, одинакового для всех компонент.
Тот факт, что построенный нами набор чисел R действительно является корректно определенным инвариантом системы, не зависящим от выбора транс-версальных сечений, сразу следует из явных формул действия группы замен GT (предложение 8.2). Отметим, что для конечных ребер Д-инвариант имеет естественный смысл. Он просто является Д-вектором для функции вращения р, записанной в «базисе» А-, А+, который определен однозначно и не зависит от выбора трансверсальных сечений. Термин «базис» мы взяли в кавычки, поскольку циклы А-, А+ являются независимыми, но базиса фундаментальной группы, вообще говоря, не образуют. Это, однако, не препятствует тому, чтобы записать функцию вращения относительно этой пары циклов.
Вектор вращения R фактически описывает эволюцию вектора v(t) нашей системы при изменении t вдоль ребра молекулы. Определим еще один траектор-ный инвариант indi?, называемый индексом системы на ребре и показывающий «число оборотов», совершенных вектором v(t) при его движении вдоль ребра. Этот инвариант однозначно вычисляется по Д-вектору, поэтому его не нужно вносить в полный окончательный список независимых инвариантов. Однако этот индекс необходим для формулировки ограничений на векторы вращения, накладываемые системой.
