Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Продолжим переменные угол и <р2 с граничного воротника внутрь всего М4 произвольным гладким способом. Это очевидно можно сделать, поскольку база тривиального расслоения у нас стягиваема. В результате получим две гладкие глобальные функции и <р2, заданные уже на всем М4. Теперь мы хотим продолжить внутрь всего М4 переменные действия si и S2. При этом нам придется следить за поведением функции вращения.
Предположим на мгновение, что мы уже продолжили симплектическую
2-форму и переменные действия si и s2 внутрь М4. Тогда функция вращения на уровне Н = 0 может быть вычислена по формуле
дН/дв!
Р =
Или, что то же самое:
Р =
dH/ds2
ds2/df
dsi/df
Функция р нам дана, и нам нужно найти функции Я1(Н, /) и «2 (Я, /), удовлетворяющие этому соотношению, учитывая кроме того, что отображение (Н, /) —у (si(H, /), s2(H, /)) должно быть погружением.
Возьмем две гладкие функции а(/) и Ь(/), не обращающиеся одновременно
в нуль, такие, что p(f) = Пусть, кроме того, ^ = -b(f) и = a(f)
b{f) of of
при H = 0 на «граничном воротнике» Mi U М2.
Траекторная классификация. Второй шаг
307
Мы приходим к следующей задаче: нужно найти на плоскости (si, S2) гладкую кривую 7 = 7(/) = (si(/), 5г(/)) такую, чтобы она удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению:
^ = (-b(f), a(f)).
Это уравнение имеет решение, определенное однозначно с точностью параллельного переноса на плоскости. Возьмем какое-нибудь решение 7 = 7(/). На каждом из двумерных прямоугольников гаi и m2 на рис. 8.6, изображающих два граничных воротника Mi и М2, у нас заданы обе пары функций: (Н, /) и (si, S2). Поэтому на каждом прямоугольнике мы можем выразить s 1 и s2 через функции Н и /. Напомним, что Н и / — это декартовы координаты на двумерных прямоугольниках т\ и m2. В результате мы получаем гладкое регулярное погружение каждого прямоугольника тп\ и m2 в плоскость M(si, S2). Образом являются два криволинейных погруженных прямоугольника fhi и m2 (рис. 8.7).
Напомним, что переменные действия si и S2 определены как функции от Н и / не однозначно, а с точностью до некоторых аддитивных постоянных. Это означает, что описанные погружения также определены не однозначно, а именно, с точностью до произвольного сдвига на плоскости Ж2 (si, S2). В результате мы получаем на плоскости (si, S2) три объекта: кривую 7 и два погруженных криволинейных прямоугольника. Каждый из них независимо друг от друга может смещаться параллельно самому себе на плоскости. Ясно, что комбинируя подходящим образом эти сдвиги, можно добиться того, чтобы в результате возникла картина, показанная на рис. 8.7: кривая 7 начинается из одного прямоугольника и в конце концов приходит в другой. При этом нужно отметить, что мы используем здесь тот факт, что при a<f<a + enb — e<f<b кривая 7 (/) может быть совмещена с образами двух интервалов, являющихся пересечениями интервала {Н = 0} с rai и m2 • Именно это мы и делаем.
Сказанное выше означает, что в действительности нам задано погружение в плоскость двух прямоугольников mi, ^2? соединенных прямолинейным отрезком (рис. 8.6). Наша задача заключается в распространении этого погружения на весь прямоугольник (а, b) х (-1, 1). Ясно, что это можно сделать.
Следует подчеркнуть здесь одну тонкость, оставшуюся «за кадром». Дело в том, что если бы два исходных погружения прямоугольников mi и m2 отличались бы друг от друга ориентацией погружения, т. е. если бы мы «перевернули» один из них, то, конечно, нам не удалось бы продолжить погружение на весь прямоугольник (а, Ь) X (-1, 1). Однако здесь мы опирались на согласованность ориентаций, учтенную в условиях, сформулированных перед леммой 8.6.
Рассмотрим теперь построенные функции si и S2 как переменные действия на всем М4.
Рис. 8.7
308
Глава 8
Запишем искомую симплектическую структуру на всем МА в следующем каноническом виде:
П = ds\ A dipi + ds2 A d(p2-Ясно, что эта форма удовлетворяет всем требованиям. Лемма доказана. ¦
Отметим, что все локальные минимумы и максимумы функции вращения /?(/), дающие нам Р-вектор, прекрасно видны на построенной нами кривой 7(/). А именно, легко проверяется, что эти точки находятся во взаимнооднозначном соответствии с точками перегиба гладкой кривой 7(/) на евклидовой плоскости переменных (si, $2).
8.5.3. Реализация избыточного t-оснащения на всей молекуле
Пусть дана молекула W и некоторое ее абстрактное избыточное i-оснащение:
ТГ = (Cj, R, Rj , Ас, Дс, Zc).
Здесь j нумерует ребра молекулы, ас — ее вершины, т. е. атомы. Участвующие здесь объекты не являются произвольными. Опишем ограничения, которым они должны удовлетворять. Эти ограничения разбиваются на два типа. Первые из них — естественные условия, которым должен удовлетворять каждый из перечисленных объектов по отдельности. Ограничения второго типа можно условно назвать перекрестными. Они связывают между собой различные объекты.
