Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
случае, мы получим симплектическое многообразие с гамильтоновым потоком sgradiif, трансверсальным сечению Рс. При этом «однократное» отображение Пуанкаре на этом сечении будет иметь вид а = Мы же в качестве
отображения Пуанкаре на атомах со звездочками рассматриваем «двукратное» отображение, которое в данном случае приобретает вид
-2 1/2 1/2 2 1 1 сг = сг =хсг/хсг/=хсг=сг,
что и требовалось. Лемма 8.4 доказана. ¦
В частности, эта лемма показывает, что мы можем реализовать любую допустимую тройку (А, Д, Z) (см. параграф 3 главы 6) как тройку атомных инвариантов системы с двумя степенями свободы, т. е. как элемент некоторого избыточного f-оснащения.
Отметим еще одну простую, но важную связь между системой на 3-атоме и ее редукцией на 2-атоме. При изучении систем на 2-атоме Р2 мы много раз рассматривали функцию П, которая каждой замкнутой траектории ц ставила в
Траекторная классификация. Второй шаг
303
соответствие ее период. Каждой замкнутой траектории редуцированной системы на Р отвечает некоторый тор Лиувилля, на котором определено число вращения р. Легко видеть, что между числами р и П имеется очень простая связь. Чтобы сформулировать ответ в удобной для нас форме, условимся рассматривать функцию периода со знаком. А именно, мы будем ставить «плюс», если траектория находится на положительном кольце, и «минус», если на отрицательном.
Отметим, что траектория ц, будучи пересечением тора с трансверсальным сечением, может рассматриваться как один из базисных циклов допустимой системы координат, дополнительный к циклу А, который является слоем расслоения Зейферта. Однако две ориентации р — как траектории редуцированной системы и как цикла допустимой системы координат — могут не совпадать. Это в точности соответствует тому, что период траектории р в этом случае следует брать со знаком «минус». Уточним, что в используемых сейчас обозначениях в случае атома типа А по определению допустимой считается пара (—р, А), а не (А, р).
Итак, пусть на р выбрана ориентация как на цикле допустимой системы координат. Тогда легко проверяется следующее утверждение, которое иногда даже кладут в основу определения числа вращения.
Лемма 8.5. Пусть Qc — произвольный атом, со звездочками или без, и П — период замкнутой интегральной траектории р поля Пуанкаре w на некоторой трансверсальной площадке Ptr С Qc. Пусть Т — соответствующий этой траектории тор Лиувилля в Qc и р — число вращения системы v на торе Т относительно системы координат, состоящей из следующих двух циклов: первый А — слой расслоения Зейферта, второй р — пересечение трансверсального сечения атома с данным тором. Тогда р = п.
Отметим, что эта лемма позволяет нам разделить кольца атома на положительные и отрицательные очень естественным образом: знак кольца определяется знаком функции вращения на соответствующем кольцу семействе торов Лиувилля.
Следствие. Пусть Qc — седловой атом со звездочками или без. Тогда функция вращения р, записанная в допустимой системе координат стремится к бесконечности при приближении тора Лиувилля к особому слою /-1(с). В случае же атома А предел функции вращения р при сжимании тора Лиувилля на устойчивую замкнутую траекторию может быть произвольным вещественным числом и не может быть равен бесконечности.
Укажем на важную связь между мультипликаторами отображения Пуанкаре и функцией вращения. Рассмотрим 3-атом А, представляющий собой окрестность устойчивой периодической траектории, расслоенную на торы Лиувилля. Обозначим через v мультипликатор этой периодической траектории. Напомним, что v — это собственное число линеаризации отображения Пуанкаре на произвольном трансверсальном сечении Ptr. При этом есть два собственных числа v и v~x. Пусть далее ро — предел функции вращения р при стремлении тора Лиувилля к периодической траектории. При этом функция вращения р вычисляется в допустимой системе координат на торе Лиувилля. В данном случае первый базисный цикл лежит на трансверсальном сечении Ptr, а второй является слоем расслоения Зейферта и направлен вдоль периодической траектории.
304
Глава 8
Предложение 8.3. Имеет место формула:
Замечание. Подчеркнем, что в этом утверждении мы поменяли местами в базисе на торе Лиувилля циклы А и /i. Следовательно, здесь функция вращения р отличается от функции вращения, обсуждавшейся выше. А именно, если обозначить прежнюю функцию через р, то связаны они так: р = р~г.
Доказательство.
Отметим, что в этом утверждении мы поменяли базисные циклы, о которых шла речь в лемме 8.5. Поэтому в данном случае число вращения и период потока Пуанкаре на трансверсальном сечении связаны соотношением р-1 = П. Таким образом, доказываемая нами формула является в действительности утверждением о гамильтоновой системе с одной степенью свободы на трансверсальном сечении Р*г, поскольку функция П и мультипликатор v характеризуют поток Пуанкаре на сечении Ptr. Требуемое утверждение будет вытекать из следующего факта, справедливого для гамильтоновых систем с одной степенью свободы.