Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
g- Т -> X, g-(T) = ^(Т'), если Т' = М(Т).
Через X здесь обозначено множество возможных значений функции g. Например, вещественные числа, проективное пространство, коцепи, цепи, циклы и т.п.
Тогда g, уже как функция на множестве интегрируемых гамильтоновых систем, является топологическим траекторным инвариантом интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических 3-поверхностях.
Второй общий принцип. Пусть gi, ... , gp — набор топологических траек-торных инвариантов, описанный в первом общем принципе. Пусть этот набор является полным, т. е. позволяет различать орбиты действия группы замен на множестве избыточных f-оснащений. Тогда объект (W, gi, ... , gp) является полным топологическим траекторным инвариантом интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических поверхностях. Этот объект можно назвать f-моле-кулой, интерпретируя gi, ... , gp как некоторые метки, навешиваемые на молекулу W. Другими словами, две интегрируемые гамильтоновы системы топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им f-молекулы совпадают.
Траекторная классификация. Второй шаг
301
Таким образом, наша задача свелась к довольно формальному поиску инвариантов действия группы GF на множестве {Т}.
Третий общий принцип. При правильном подходе к проблеме классификации, сначала мы рассматриваем пространство всех избыточных ^оснащений, затем действие на нем группы замен сечений, в результате чего получаем пространство орбит. Возможно, оно плохо устроено, если гамильтонова система достаточно сложна. После этого мы должны рассмотреть это пространство орбит и задать на нем набор «функций», разделяющих орбиты.
Наш третий принцип заключается в том, что полный набор инвариантов может выбираться неоднозначно. Каждый раз такой выбор может определяться специфическими свойствами молекулы системы. Это означает, что f-молекула может задаваться разными способами. Однако естественно, что любой способ выбора конкретного вида f-молекулы должен учитывать, что базируется она на «обязательной части», а именно — на меченой молекуле W*. Но «расширять», дополнять молекулу W* новыми параметрами-инвариантами можно разными способами.
Например, работая лишь с простыми молекулами, можно ограничиться добавлением к молекуле W* вводимого нами ниже Ь-инварианта и векторов вращения. Jlpn рассмотрении сложных молекул придется добавлять более деликатный Д^[^]-инвариант.
8.5. Допустимые избыточные оснащения и их реализация
8.5.1. Реализация оснащения на атоме
Пусть Р2 — седловой 2-атом, со звездочками или без, и Qc — отвечающее ему 3-многообразие, т. е. седловой 3-атом.
Лемма 8.4.
а) Пусть на 2-атоме Рс, без звездочек, задана произвольная гамильтонова система с морсовским гамильтонианом w = sgradF. Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы v = sgradiif с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразие М4, диффеоморфном прямому произведению Ql х (—1, 1).
б) Пусть на дубле Рс 2-атома Рс со звездочками, задана гамильтонова система с морсовским гамильтонианом w = sgradF, инвариантная относительно инволюции х: Рс —> Рс- Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы v = sgrad Н с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразии М4 диффеоморфном прямому произведению Q\ х (—1, 1). Здесь Ql — 3-атом, отвечающий 2-атому Рс = Р/х-
302
Глава 8
Доказательство.
а) Пусть ш — симплектическая структура на Рс, отвечающая гамильтониану F и полю w. Рассмотрим 4-многообразие М = Рс х [0, 2тг] х (-1, 1) с симплектической структурой Q = ш + dH A dip, где Н и ip — естественные координаты на (—1, 1) и [0, 27г] соответственно. Ясно, что Q действительно является симплектической структурой на М, и гамильтоново поле
sgradff = А
имеет интеграл F. Отождествим теперь два основания цилиндра
Рс х (-1, 1) х {0} и Рс х (-1, 1) х {2тг}
по диффеоморфизму g-(p, Н, 27т) = (а(р), Н, 0), где и = а1 — сдвиг на единичное время вдоль векторного поля w. Здесь (р, Н) — точка из Рс х ( — 1, 1).
В результате мы получим многообразие М4 = Рс х S'1 х (—1, 1), причем симплектическая структура Q превратится в гладкую симплектическую структуру на М. Дело в том, что симплектическая структура ш сохраняется при отображении 67.
Ясно, что в результате отображение и: Рс —» Рс будет отображением Пуанкаре гамильтонова потока v = sgrad(-ff) на каждой изоэнергетической поверхности, и гамильтоново векторное поле v удовлетворяет всем необходимым требованиям.
б) В случае атомов со звездочками поступим аналогично. А именно, рассмотрим цилиндр М = Р х [0, 7г] х (—1, 1), и отождествим его основания
Рс X (-1, 1) X {0} И Рс X (-1, 1) х {тг}
по диффеоморфизму вида g(p, Н, ж) = Н, 0). Как и в предыдущем
