Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
8.3. Действие группы замен GF на множестве избыточных оснащений
Замечательным является тот факт, что действие (?Р на множестве сечений индуцирует естественное действие на множестве {Т} допустимых избыточных i-оснащений. Пусть нам дана система v и набор сечений F = {Ptr}- Тогда корректно определено соответствующее этому набору избыточное i-оснащение Т. Подействуем на F некоторым элементом группы замен (?Р. Получим некоторый новый набор сечений Р', которому соответствует новое избыточное оснащение Т\ По определению мы будем считать, что Т' является результатом действия элемента М на избыточное i-оснащение Т.
Подчеркнем, что нетривиальность этой конструкции заключается в корректности такого определения: Т' зависит только от Т и М, и не зависит от специфики системы v и набора сечений Р.
Эту теорему мы сейчас докажем, опираясь на уже развитую нами теорию. Мы убедимся в этом с помощью явных формул, описывающих это действие.
Кроме различающей 1-коцепи гас мы будем рассматривать различающую 2-коцепь кс = дшс, которая строится следующим образом. Отметим, что шс является коциклом для поверхности Рс. Однако с точки зрения замкнутой по-
без изменения его свойств.
Рис. 8.5
Траекторная классификация. Второй шаг
299
верхности Рс, которая получается из Рс заклейкой всех граничных окружностей дисками, коцепь тс будет иметь, вообще говоря, нетривиальную кограницу дтс, которую мы и обозначаем через кс.
Коцепь кс сопоставляет каждому граничному тору 3-атома Qc некоторое целое число кп, которое на самом деле нам много раз встречалось в формулах замены допустимых систем координат на граничных торах атома (см. главу 4). Напомним эти формулы:
= Хп,
= /J'n + кп,Хп.
Отметим, что в терминах сечений Р и Р' различающая 2-коцепь кс имеет очень естественный смысл. В случае атомов без звездочек она показывает, как различаются границы сечений Ptr и Pj.r. Отметим, что различающая 1-коцепь тс описывает различие между самими сечениями, т. е. содержит более точную информацию. Через К мы будем обозначать набор {кс}. В случае атомов со звездочками интерпретация 2-коцепи кс в общем-то остается той же. Но поскольку тут речь должна идти о дублях, то границы сечений Ptr = j(Pc) И Ptr — f(Pc) «различаются» на 2кс.
Приведенные выше рассуждения касались седловых атомов. В случае атома типа А мы в качестве аналога 2-коцепи кс будем рассматривать одно целое число к, сопоставленное единственному граничному тору. В качестве такого числа мы берем при этом само число га, определенное выше из соотношения ц' = ц+т\. Другими словами, в этом случае одно и то же число га выступает в качестве аналога различающей 1-коцепи гас и различающей 2-коцепи кс = дтс.
Итак, на каждом граничном торе каждого атома Qc появилось целое число кп. Можно считать, следовательно, что эти числа стоят на начале и на конце каждого ребра ej молекулы W. Поэтому нумерацию этих чисел мы будем производить двумя способами:
1) kj' и kj, где j нумерует ребра молекулы W, при этом знак «—» соответствует началу, а знак «+» — концу ребра е^-;
2) кп, где п нумерует граничные торы атома Qc, и речь идет о коэффициентах соответствующей 2-коцепи кс.
Аналогичным соглашением мы будем пользоваться для нумерации векторов вращения R~, R+ и допустимых систем координат (А,//) на торах Лиувилля. При таком подходе многие формулы должны упроститься.
Предложение 8.2. Пусть Р — произвольный набор трансверсальных сечений для некоторой интегрируемой системы v на изоэнергетической поверхности Q3. Пусть М — произвольный элемент из группы замен GHP иК = 5ML Другими словами, МиК — наборы различающих 1- и 2-коцепей соответственно. Пусть Р' — набор сечений, полученный из Р заменой М, Т и Т' — избыточные t-оснащения, отвечающие наборам Р и Р'. Тогда элементы этих t-оснащений связаны друг с другом следующим образом:
W = Ш) = (-? (»7 ”) = гэе AJ = Q [),
300
Глава 8
2) (R-y = R] + kj, (KjY = fit + kf,
S) Л'=ЛС,
4) A'c = Дс + ф'1(кс) или, что то же самое, А'с = Дс + ф\(тс),
5) Z'c = Zc +ф2{тс).
Доказательство.
Формула 1 доказана в главе 4. Формула 2 следует из предложения 1.14. Формулы 3, 4, 5 следуют из свойств операции вклейки-вырезания, описанной в параграфе 2 главы 6, и предложения 8.1, которое интерпретирует действие элемента тс на трансверсальное сечение как вклейку-вырезание. Предложение доказано. ¦
Следствие. Действие группы замен на множестве избыточных t-оснащений корректно определено. В частности, это действие не зависит от выбора конкретной гамильтоновой системы и набора трансверсальных сечений, реализующих данное t-оснащение.
8.4. Три общих принципа построения инвариантов
Теперь мы можем сформулировать общие принципы построения траектор-ных инвариантов.
Первый общий принцип. Пусть g — некоторая функция на множестве всех избыточных f-оснащений, являющаяся инвариантом описанного выше действия группы замен. Пусть далее, g принимает значения в некотором «разумном множестве»:
