Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Мы видим, что с формальной точки зрения группа замен трансверсальных сечений одинаково устроена как в случае атомов без звездочек, так и для атомов со звездочками. Это — группа одномерных когомологий Н1(РС, Z). Формально, инварианты (Л, A, Z) редуцированной системы тоже одинаково устроены как для атомов без звездочек, так и для атомов со звездочками. Эти два наблюдения, сделанные А. Б. Скопенковым [258], позволяют легко включить атомы со звездочками в общую теорию классификации интегрируемых систем.
В случае атома типа А аналог «различающей» m вводится аналогичным образом. Напомним, что топологически атом А представляет собой полноторие, и произвол в этом случае состоит в выборе слоя fj, тривиального расслоения Зей-ферта на этом граничном торе. Ясно, что два таких слоя всегда связаны соотношением //' = // + шА, где А — меридиан полнотория, а ш — некоторое целое
т = 1
а) Ъ)
Рис. 8.4
1 / Г77\ ТТ
Траекторная классификация. Второй шаг
297
число. Именно это число и является аналогом «различающей», и мы для удобства будем употреблять этот термин как для седловых атомов, так и для атомов типа А.
Итак, если мы имеем некоторый набор сечений F = {Ptr} и некоторый набор коциклов М = {тс} 6 GT, то мы можем естественным способом построить новый набор сечений Р', являющийся результатом действия М на Р.
Таким образом, мы можем определить действие группы замен трансверсаль-ных сечений (7Р на множестве всех трансверсальных сечений {М}. Отметим, что структура группы GT очень проста: это свободная абелева группа Ъп+к, где п — число замкнутых гиперболических траекторий системы с ориентируемыми сепа-ратрисными диаграммами, к — общее число всех атомов. Здесь мы пользуемся тем, что размерность группы гомологий iif1(Pc, Z) для каждого отдельного седло-вого атома вычисляется по следующей простой формуле: dimiif1(Pc, Z) = sc + 1, где sc — число вершин графа Кс кратности четыре (т. е. число гиперболических траекторий с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами, попавших в данный атом).
Следующее утверждение дает ответ на вопрос о том, что происходит с потоком Пуанкаре при замене трансверсального сечения.
Предложение 8.1.
а) Пусть Qc — S-атом без звездочек, w и w' — потоки Пуанкаре, порожденные системой v на сечениях Ptr = j(Pc) с Qc и Plr = j'(Pc) С Qc. Пусть далее т ? iif1(Pc, Z) — определенный выше различающий 1-коцикл. Тогда поток w’ на 2-атоме Рс получается из w применением операции вклейки-вырезания Ф_ш.
б) Пусть Qc — 3-атом со звездочками, w и w' — потоки Пуанкаре, порожденные системой v на сечениях Ptr = j(Pc) и P/r = j'{Pc), где Рс — канонический дубль. Пусть далее т ? Lf1(Pc, Z) — определенный выше различающий 1-коцикл. Тогда система w’ на дубле Рс получается из системы w, применением операции вклейки-вырезания Фгде 1-коцикл т обозначает «поднятие» 1-коцикла т с атома Рс = Рс/г на его дубль Рс. Другими словами, т — симметричный 1-коцикл, принимающий одинаковые значения на тех ребрах графа Кс, которые переходят друг в друга при инволюции т: если
1-коцикл m принимает значение гп{ на ребре графа К, то т принимает значение гп{ как на Ki, так и на r(Ki).
Доказательство предложения 8.1.
Начнем со случая атомов без звездочек. Достаточно доказать предложение 8.1 для элементарного 1-коцикла ш, который равен нулю на всех ребрах графа Кс, кроме одного ребра Ki, на котором он равен 1.
Рассмотрим рис. 8.5, на котором изображено плоское кольцо Li с двумя трансверсальными гладкими кривыми j(Ki) и j'(Ki), изображенными жирными линиями. Здесь j'(Ki) получается из j(Ki) намоткой с коэффициентом rrii = 1 вдоль оси кольца. Тонкой линией изображена траектория векторного
298
Глава 8
поля v = sgradi?, поведение которой в силу наших предположений соответствует рис. 3.16(b). Напомним, что ребра j(Ki) и j'(Ki) являются пересечениями трансверсальных сечений Ptr и Р{г с кольцом Li. Мы выбрали их специальным образом, чтобы доказательство сформулированного утверждения было более наглядным. Мы вправе делать это, поскольку сечение можно подвергать изотопии
На отрезках SiX и YS2 ребра j(Ki) и j'(Ki) совпадают, а накрутка производится на интервале XY. Следовательно, на отрезках SiX и YS2 потоки Пуанкаре а* и art совпадают. Что происходит между точками X и У? Легко видеть по нашему построению, что Y = = сг2(Х) и в то же время Y = сг'1(X). На всех близких торах при аналогичном выборе сечений, т. е. когда они совпадают всюду за исключением правильно подобранного участка, ситуация будет в точности аналогичной. Таким образом, потоку а* требуется на единицу больше времени, чтобы пройти участок от X до Y, чем потоку <т/4. Но это и означает, что поток <т/4 получается из а* вырезанием куска единичной длины, что и требовалось доказать.
Пункт «б», т.е. случай атомов со звездочками, доказывается аналогично. Нужно в точности повторить все предыдущие рассуждения для обоих парных ребер Ki и т(К{). Предложение 8.1 доказано. ¦
