Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 131

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 193 >> Следующая


3: Рс —> Qc и /: Рс —>¦ Qc, Ptr = j(Pc), Ptr = j'(Pc)-

Поскольку оба сечения интересуют нас с точностью до изотопии, то мы можем без ограничения общности считать, что сечения Ptr и Р/г пересекаются с критическими окружностями атома в одних и тех же точках. Это означает, что образы каждой вершины графа при отображениях j и j' совпадают. Рассмотрим произвольное ребро Ki графа К и его образы j(Ki) и Ясно, что j(Ki) = Ptr ПХ*

и j'(Ki) = PlrC\Li, где Li — одно из колец, из которых состоит критический уровень /-1(с) интеграла /. Итак, мы имеем на кольце Li два ребра j(Ki) и j'(Ki) с совпадающими концами, лежащими на противоположных граничных окружностях кольца.

На кольце Li имеется ориентированный цикл Л — слой тривиального расслоения Зейферта. На ребрах j(Ki) и j'(Ki) также имеются естественные ориентации, заданные потоками Пуанкаре w и w'. Эти потоки индуцированы, в свою очередь, одним и тем же гамильтоновым полем v на кольце Li. Отсюда следует, что имеет естественный смысл следующее разложение: j'(Ki) = j(Ki) + mjA, где mj — некоторое целое число, положительное или отрицательное. Комментарий к этой формуле: разность j'(Ki) — j(Ki), очевидно, является 1-циклом на кольце Li с образующей Л. Следовательно, этот 1-цикл кратен Л с некоторым целым коэффициентом mi.
Траекторная классификация. Второй шаг

295

Итак, в результате сравнения двух сечений, на ребре Ki появилось целое число шг-. Этот набор целых чисел мы будем интерпретировать как 1-коцепь т и называть различающей коцепью. Заметим теперь, что коцепь т определена с точностью до целочисленной кограницы. Действительно, рассмотрим образ некоторой вершины графа Кс при отображении j'. Поскольку сечения нас интересуют с точностью до изотопии, то мы можем протянуть эту вершину вдоль слоя тривиального 51-расслоения и вернуться на прежнее место. С одной стороны при такой операции сечение изменилось на изотопное, с другой, как нетрудно увидеть, к различающей коцепи ш добавилась элементарная кограница, отвечающая данной вершине графа Кс. Таким образом, корректно определенной различающей двух сечений является в данном случае элемент целочисленной группы когомологий (71(iiCc, Z)/51(iiCc, Z) = Н1(Кс, Z). Учитывая, что атом Рс стягивается на свой граф Кс, мы можем интерпретировать построенную различающую т как элемент группы Д’1(РС, Z).

Обратно, пусть Ptr = j(Pc) — произвольное сечение и т — любой элемент из Н1(РС, Z). Тогда можно однозначно, с точностью до изотопии восстановить новое сечение P{r = j'{Pc) такое, что различающая между Ptr и Р/г будет как раз равняться т.

Рассмотрим теперь случай атомов со звездочками. Общая схема рассуждений сохраняется. В этом случае в качестве трансверсальных сечений мы должны рассматривать вложения дубля Рс соответствующего атома со звездочками (Рс, Кс). Итак, пусть даны два вложения

j • Рс ^ Q С ? j • Рс ^ Q с •

Напомним, что говоря здесь о вложении дубля, мы рассматриваем только такие вложения, для которых диаграмма

коммутативна.

Легко видеть, что с помощью изотопии можно добиться того, чтобы эти вложения совпадали на малых окрестностях вершин дубля Р. Обозначим через Кс граф, являющийся дублем графа Кс и лежащий в дубле Рс. Тогда то же рассуждение, что и выше, дает соотношение:

j’(Ki) = j(Ki) + шД,

где {Ш|} — целые числа, а Кг — ребра графа Кс. Это соотношение аналогично формуле К[ = Ki + тХ, полученной нами выше для атомов без звездочек.

Каждое кольцо Li особого слоя L пересекается, в данном случае, с трансвер-сальным сечением не по одному отрезку, как в случае атомов без звездочек, а по двум отрезкам. Эти отрезки переходят друг в друга при инволюции т, определенной на дубле. Их можно обозначить через Ki и r(Ki). Тогда соотношение,
296

Глава 8

аналогичное полученному выше для отрезка Ki, будет верно и для отрезка t(Ki). А именно:

j'(r(Ki)) = j{T(Ki)) + шА,

где rrii — те же самые, что и в формуле для ребер Ki.

Получающийся набор чисел {шг} можно интерпретировать как «т-симметричную» 1-ко-цепь, то есть элемент группы Сг{Кс, Z). Другими словами, эта коцепь принимает одинаковые значения на «парных ребрах», переходящих друг в друга при инволюции т. Следовательно, набор чисел {mj можно интепретировать как 1-коцепь на графе Кс = Кс/т. Таким образом, 1-коцепь {Ш(} на самом деле лежит в группе Сх(Ас, Ъ). Далее, как и в предыдущем случае, легко заметить, что эта коцепь определена по модулю 1-кограницы, и мы приходим к тому же самому результату: различающей двух сечений является элемент группы одномерных когомологий LГ1(РС, Z).

Обратно, если задан произвольный элемент ш G LГ1(РС, Z), то всегда можно построить по нему трансверсальное сечение P^r = j'(Pc) в 3-атоме Qc, отличающееся от сечения Ptr = j(Pc) на этот коцикл ш.

Замечание. Если не накладывать никаких дополнительных ограничений на выбор трансверсального сечения, как это предусмотрительно сделали мы, то числа {га*} могут оказаться не целыми, а полуцелыми. Дело в том, что отбросив условие принадлежности двух сечений к одному классу (см. выше условие коммутативности диаграммы), мы сразу же увидим, что отрезки Ptr П Li = К и Plr П Li = К1 могут отличаться внутри кольца Li на полуцелое число оборотов. См. рис. 8.4(b). В этом случае топологический тип трансверсального сечения может измениться. Поскольку мы хотим работать в классе сечений одного и того же топологического типа, мы запретили «полуцелые обороты» условием совпадения двух вложений j и f дубля Рс в окрестности его вершин. В результате всегда появляется лишь «целочисленная намотка», изображенная на рис. 8.4(a).
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed