Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство.
Это утверждение является следствием доказанной выше теоремы редукции систем двух степеней свободы к системам одной степени свободы. Как будет показано ниже (в этой же главе), функция вращения системы v\ на 3-атоме А совпадает с функцией периода редуцированной системы на 2-атоме А, то есть на двумерном диске. В результате, вопрос о траекторной эквивалентности систем на 3-атоме А сводится к доказательству сопряженности редуцированных систем wi и W2 на двумерном диске, при условии, что функции периодов сопря-
Траекторная классификация. Второй шаг
291
жены. Но в этом предположении можно написать явную формулу, задающую искомый гомеоморфизм (или диффеоморфизм, соответственно). Легко видеть (см., например [281]), что для каждой системы W{ на 2-диске существуют локальные канонические координаты р^ и ^ такие, что гамильтонианы F{ систем Wi запишутся в виде F{ = Fi(p2 + q2). При этом функции периодов ПД^;) будут иметь следующий вид:
где Si = р2 + q2. Если функции вращения сопряжены при помощи замены S2 = ^2(^1), то гомеоморфизм (соответственно, диффеоморфизм), сопрягающий системы wi и W2, может быть записан в следующем простом виде: <pi = <р2, ^2 = ^2(^1), где y>i — полярные углы, отвечающие «декартовым» координатам Pi,qi. Следовательно, потоки Пуанкаре на двумерном диске сопряжены, а потому исходные системы v\ и г;2 траекторно эквивалентны на 3-атоме А. Лемма доказана. ¦
Итак, вблизи особых слоев (то есть, на 3-атомах) данные системы v\ и г;2 траекторно эквивалентны. Кроме того, по условию, совпадают векторы вращения сравниваемых систем на соответствующих ребрах молекул W\ и W2- Отсюда и из предложений 5.2 и 5.3 главы 5 следует, что системы ы и V2 траекторно эквивалентны на каждом ребре. Осталось сшить имеющиеся траекторные эквивалентности на атомах и на ребрах. Итак, рассмотрим произвольное ребро е, примыкающее к какому-либо атому V. Вблизи атома на некотором однопараметрическом семействе торов Лиувилля Т х [а, 6] мы имеем два различных тра-екторных изоморфизма:
Для сшивания мы должны построить некоторый новый траекторный изоморфизм (:Т2 х [а, 6] —> Т2 х [а', &'], который совпадает с ? в окрестности одного граничного тора, т. е. на множестве Т2 х [а, а + е], и совпадает с г] в окрестности второго граничного слоя, т. е. на множестве Т2 х [6 — е, 6]. Отметим, что оба изоморфизма в нашей ситуации являются послойными, т. е. образом тора Лиувилля из семейства Т2 х [а, 6] является некоторый тор Лиувилля из семейства Т2 х [а', &'], причем один и тот же для обоих диффеоморфизмов. Дело в том, что при траекторных изоморфизмах обязано сохраняться число вращения, которое вблизи седлового атома меняется монотонно. Кроме этого траекторные изоморфизмы ? и г] являются гомотопически эквивалентными. Это связано с тем, что гомотопический класс отображения определяется образами базисных циклов на торе, т. е. циклов, задающих допустимые системы координат. В нашем случае образы базисных циклов фиксированы, поскольку фиксированы наборы сечений. Требуемое сшивание возможно в силу следующей леммы о сшивании, которая справедлива как в гладком, так и в топологическом случае.
Лемма 8.3 (Лемма о сшивании). Пусть заданы два различных траекторных изоморфизма между интегрируемыми гамильтоновыми системами v\ и v2,
?, 4: Г2 х [в, b] -> Т2 х [в', Ь'].
292
Глава 8
ограниченными на однопараметрические семейства лиувиллевых торов:
t,,Г.Т2х[а,Ь]^Т2х[а',Ь'].
Пусть ?(Т2 х {с}) = 7]{Т2 х {с}) и кроме того ? иг) гомотопны. Тогда существует сшивающий траекторный изоморфизм ? такой, что
( = ? на множестве Т2 х [а, а + е\, и ( = т] на множестве Т2 х [Ь — е, Ь].
Доказательство.
Без ограничения общности мы можем считать, что функция вращения меняется мало на нашем семействе торов. Иначе мы можем разбить все на узкие кусочки и доказывать для каждого из них лемму по отдельности. Это условие нужно нам для существования трансвер-сального сечения. В нашем случае, впрочем, оно будет выполнено автоматически, поскольку вблизи атома такое сечение всегда существует.
Итак, рассмотрим произвольное трансвер-сальное сечение Р = S1 х [а, Ь] С Т2 х [а, Ь] к векторному полю и построим соответствующее ему трансверсальное сечение Р' к векторному полю V2 в семействе Т2 х [а', Ь'] так, чтобы вблизи граничного тора Т2 х {а} оно совпадало с образом ?(Р), а вблизи другого граничного тора Т2 х {6} с образом г}{Р). Легко видеть, что такая трансверсаль Р' существует.
Далее, на трансверсалях РиР' возникают потоки Пуанкаре, которые будут сопряжены в силу теоремы редукции. Изоморфизм к, сопрягающий эти потоки, определен неоднозначно. Произвол состоит в следующем. Пусть N — произвольная кривая, соединяющая пару точек на двух компонентах границы кольца Р и трансверсальная траекториям потока Пуанкаре (рис. 8.2). Тогда в качестве образа N при отображении к мы можем взять произвольную аналогичную трансвер-сальную кривую N' на кольце Р'. Легко видеть, что если образ k{N) фиксирован, то далее к однозначно восстанавливается.
