Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 128

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 193 >> Следующая

Траекторная классификация. Второй шаг

289

базисный цикл fij из соотношения

fij = 2^3 s3^)'

Это соотношение имеет смысл, поскольку выражение, стоящее в скобках, в обоих случаях является «двукратным» циклом. Итак, мы указали явные формулы, которые связывают границу трансверсального сечения dPtr = {fij} с базисными циклами допустимой системы координат.

Фиксируем теперь для каждого седлового 3-атома Qc (со звездочками или без) трансверсальное сечение Р*г. Для атомов типа А фиксируем структуру тривиального 51-расслоения, выбрав каким-то образом слой fi на его граничном торе. Напомним, что в отличие от седловых атомов в этом случае неоднозначность состоит в выборе слоя расслоения Зейферта, тогда как трансверсальное сечение определено однозначно. Набор фиксированных сечений для седловых атомов и слоев для атомов типа А, мы будем обозначать через F.

Комментарий. В дальнейшем, говоря о наборе F, мы будем употреблять термин «набор сечений», хотя для атомов типа А мы выбираем не сечение, а слой. Это не должно нас смущать, поскольку в действительности «теория сечений» играет основную роль во всех наших построениях.

Итак, пусть нам задан конкретный набор сечений F. Тогда мы можем произвести вычисления многих естественных объектов. А именно, мы можем вычислить все матрицы склейки, все векторы вращения, все А-, А- и Z-инварианты потоков Пуанкаре для каждого конкретного сечения Ptr с Qc• Проделаем эту процедуру. Введем следующие обозначения: ej — ребро молекулы W;

(AJ, fij) и (А+, fij) — допустимые системы координат на начале и конце ребра ej соответственно, зависящие от F;

Cj(F) — соответствующая матрица склейки на ребре ej;

Rj(F) и F) — векторы вращения гамильтоновой системы v на ребре ej в этих системах координат;

AC(F), AC(F) и Zc(F) — А, А и Z-инварианты потоков Пуанкаре для каждого 3-атома Qc, при данном выборе набора глобальных сечений F.

Комментарий. Напомним наше предположение о том, что все седловые критические окружности интеграла / на Q3 являются гиперболическими. Это гарантирует нам, что гамильтониан Пуанкаре на трансверсальном 2-сечении будет функцией Морса. См. выше предложение 5.5. Поэтому А-, А- и Z-инварианты будут корректно определены для каждого седлового атома.

Определение 8.1. Совокупность объектов

Т = {СДР), ДГ(Р), Л/(Р), АС(Р), ДС(Р), Zc(Р)}

мы будем называть избыточным t-оснащением молекулы W.

Другими словами, рассматривая избыточное t-оснащение, мы собираем вместе всю информацию об атомных и реберных траекторных инвариантах. Следующее утверждение показывает, что этой информации достаточно для траекторной классификации.
290

Глава 8

Лемма 8.1 (Основная). Пусть v\ и V2 — две интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических 3-поверхностях Qi и Q2 соответственно. Пусть их молекулы совпадают. Эти системы траекторно топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют наборы сечений Pi и Рг, для систем v\ и г>2 соответственно, такие, что отвечающие им избыточные t-оснащения совпадают.

Комментарий. Эта лемма показывает, что набор описанных нами траекторных инвариантов является полным. Следовательно, никаких других инвариантов (для целей траекторной классификации) искать уже не нужно. В то же время нужно отметить, что некоторым недостатком обнаруженных инвариантов является то, что они определены не однозначно, а зависят от выбора трансверсальных сечений. Однако эту неоднозначность можно устранить с помощью некоторой формальной процедуры. Грубо говоря, нужно произвести факторизацию избыточных i-оснащений по действию группы замен трансверсальных сечений. Это будет сделано в следующем параграфе.

Доказательство.

В одну сторону утверждение очевидно. Действительно, если системы эквивалентны, то для любого набора Pi мы можем в качестве Р2 рассмотреть образ Pi при гомеоморфизме ?, устанавливающем траекторную эквивалентность между системами. Тогда все инварианты, входящие в избыточное i-оснащение, совпадут. Докажем предложение в обратную сторону. Нужно показать, что две системы vi и г>2 с совпадающими избыточными i-оснащениями траекторно эквивалентны. Начнем со случая седловых атомов. Рассмотрим заданные нам наборы сечений Pi и Рг. Из совпадения на них Л-, А- и Z-инвариантов для v\ и г>2 следует, что порождаемые ими потоки Пуанкаре w\ и W2 топологически сопряжены на заданных выше сечениях (см. теоремы 6.1 и 6.2). Отсюда следует, что системы vi и V2 траекторно эквивалентны на соответствующих седловых атомах (см. теорему редукции 5.1 главы 5). В случае атомов А ситуация совершенно аналогична и даже проще, поскольку здесь никаких атомных инвариантов нет. Достаточно знать поведение функции вращения на ребре молекулы вблизи атома А. А именно, справедлива следующая лемма.

Лемма 8.2. Пусть даны две интегрируемые системы v\ и V2 на 3-атоме А, то есть в окрестности устойчивой периодической траектории. Пусть функции вращения р\ и р2 этих систем сопряжены (непрерывно или гладко) в этой окрестности. Тогда системы v± и V2 траекторно эквивалентны (топологически или гладко соответственно).
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed