Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вызывает лишь изумление, как такой достаточно примитивный алгоритм приводит к столь необычной геометрической конструкции. Биологический подтекст, фигурирующий в названии кривой, заставляет задуматься, а не закодирована ли в генах каким-нибудь схожим простым образом информация о форме и размерах существующих в природе живых организмов? Рассмотренная выше кривая представляет собой лишь один из многих примеров так называемых JI-систем (L-system), изобретенных Аристидом Линденмаером (Aristid Linden-
Рис. 1.18. 12-е и 16-е поколения дракона Хартера-Хейтуэя.
29 mayer) в 1968 г. для моделирования биологического роста. Он показал, что предельная геометрия даже очень простых систем может быть необычайно фрактальной.
1.1.9 Вселенная Фурнье
В попытке понять устройство Вселенной мы неизбежно сталкиваемся с понятием фрактала. Так, предположим, что нам захотелось узнать, с какой средней плотностью распределены звезды (или галактики) в видимой части Вселенной. Представим себе сферу достаточно большого радиуса R, внутри которой находится очень много N 1 звезд. Тогда по определению средняя концентрация звезд п = NfV(R)1 где V(R) = 47гЛ3/3 — объем сферы. Можно предположить, что если радиус сферы достаточно велик, то концентрация звезд не будет зависеть от этого радиуса, и мы получим ответ на интересующий нас вопрос.
Опытные данные, однако, говорят об обратном. С ростом R величина п непрерывно уменьшается. И, что интересно, уменьшение происходит примерно по степенному закону п ос RB~3, где D « 1.23, т. е. намного меньше 3. Это соответствует тому, что число звезд в сфере радиуса R растет как
N ocRd = Я1'23, (1.17)
т. е. гораздо медленнее, чем было бы в случае их однородного распределения в пространстве. Таким образом, распределение звезд и галактик во Вселенной сильно неоднородно. Количественной мерой этой неоднородности может служить отличие показателя степени D от 3. Саму же величину D можно отождествить с фрактальной размерностью распределения материи во Вселенной. Это последнее утверждение нуждается в пояснении.
Действительно, при определении, например, фрактальной размерности D береговой линии, мы исходили из соотношения N « (R/l)B, где величина R была расстоянием между парой точек А и В на береговой линии по прямой, длина I R была нашим масштабом измерения, а число N показывало, сколько раз этот масштаб укладывался вдоль береговой линии между точками А и В. В соответствии с
30 этой формулой фрактальную размерность D можно трактовать двояко. С одной стороны, в полном согласии с определением (1.2) она показывает, как с уменьшением масштаба I растет число элементов, с помощью которых можно покрыть некоторую выделенную область на данном фрактале. С другой стороны, она показывает, как то же самое число растет с увеличением R — размера этой области. Причина такой двойственности, очевидно, кроется в том, что у фрактала нет своего собственного масштаба длины, а поскольку число N должно быть безразмерным, то показатель степени D оказывается одним и тем же как для зависимости N ос Rd, так и для зависимости N ос l~D.
Как можно себе наглядно представить распределение звезд в трехмерном пространстве, имеющее фрактальную размерность D, близкую к единице? Разумеется, ответ на этот вопрос сильно неоднозначен. Существует бесконечное количество различных конструкций, имеющих одно и то же значение фрактальной размерности. Одним из классических примеров, который мы сейчас рассмотрим, является вселенная Фурнье (Fournier universe), названная так по имени американского журналиста и изобретателя, который предложил ее в 1907 г. Она показана на рис. 1.19.
Рис. 1.19. Вселенная Фурнье.
Каждая точка на этом рисунке представляет собой одну галактику. Они объединены в скопления радиуса Ri по 7 галактик в каждом
31 скоплении. На рисунке видны только пять из них: недостающие две расположены симметрично над и под плоскостью рисунка, на прямой, проходящей через центр скопления6. В свою очередь, семь таких скоплений аналогичным образом объединены в одно суперскопление радиуса R2. Затем по такому же принципу из семи суперскоплений строится одно суперсуперскопление радиуса R^, причем R3/R2 = R2/R1 и т.д. В результате многократного повторения такого процесса возникает самоподобная фрактальная структура.
Ее фрактальную размерность легко определить, заметив, что, как следует из рисунка, в сфере радиуса R2 содержится в семь раз больше галактик, чем в сфере радиуса Ri, т.е. N(R2) = 7N(Ri). Решением этого уравнения является степенная функция N ос Rd1 где
* = WKr (1-18)
У Фурнье R2 = 7Ri, поэтому размерность такой вселенной равняется 1. Как видно, она для этого вовсе не обязательно должна быть прямой или какой-нибудь другой плавной кривой. Более того, она даже не должна быть связной. Меняя отношение R2/R1, легко построить фрактальные вселенные с другими размерностями D, близкими к единице.
1.2 Итерации линейных систем
1.2.1 Системы итерируемых функций
Как мы уже убедились, многие регулярные фракталы строятся путем бесконечного повторения нескольких простых операций, скажем, замены одного элемента некоторой комбинацией других, ему подобных. Так, например, салфетка Серпинского получается при замене исходного большого треугольника тремя треугольниками в два раза меньшего размера, расположенных друг относительно друга так, как показано на рис. 1.4 в центре. Затем эта же операция повторяется с каждым из этих трех маленьких треугольников, и так далее
