Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Фрактальная размерность губки Менгера равна
D = — = 2.7268 . (1.14)
In 3 v ;
Поскольку 2 < D < 3, то это говорит о том, что губка имеет нулевой объем, но обладает бесконечной площадью поверхности своих пор.
Из вышеизложенного легко заметить, что для фигур, обладающих свойством идеального самоподобия, правило (1.4), позволяющее определить размерность D, можно переформулировать иным образом. Так, если множество, состоящее из одинаковых элементов, строится с помощью самоподобного процесса, причем на любом шаге каждый из элементов с линейными размерами I заменяется р подобными элементами, размерами l/q (с q > 1) каждый, то фрактальная размерность такого объекта очевидно равна
D = (1.15)
Ing
Например, для кривой Коха р = 4, q = 3, поэтому величина D = = 1п4/1пЗ (см. формулу (1.8)).
Заметим, что для всех рассмотренных выше регулярных фракталов фрактальная размерность D оказалась меньше, чем размерность того пространства d, в котором находится данный фрактальный объект. Неравенство D < d отражает факт некомпактности фрактала, причем чем больше различаются величины d и D1 тем более рыхлым является фрактал.
1.1.8 Кривые Пеано
Существуют, однако, фракталы, которые плотно заполняют пространство, в котором они находятся, так что их фрактальная размер-
25 ность D = d. Одним из примеров такого рода являются кривые Пеано (Peano curves). Первая из них была найдена Пеано в 1890 г. Начальным (инициирующим) элементом здесь можно выбрать единичный квадрат, каждая из сторон которого на следующем шаге заменяется генератором, показанным на рис. 1.12 (справа). Он состоит
1 2
3 4
1 2 5 10
6 9
7 8
Рис. 1.12. Генератор для кривой Пеано.
из 9 отрезков длины 1/3, соединенных под прямым углом друг к другу. Цифры показывают способ обхода данной кривой. При такой геометрии неизбежны две точки самоконтакта 2-6 и 5-9. В результате исходный квадрат преобразуется так, как показано на рис. 1.13.
Рис. 1.13. Построение кривой Пеано.
Затем каждый из отрезков образовавшейся фигуры длиной в 1/3 преобразуется подобным же образом, и так до бесконечности. В результате возникает самоподобная непрерывная кривая, плотно заполняющая квадратную область с площадью, равной 2. Ее фрактальная
26 размерность
Существуют, однако, и кривые Пеано, в которых, в отличие от предыдущего случая, отсутствуют точки самоконтакта (так называемые само-избегающие кривые). Одним из примеров такого рода является кривая Госпера (Gosper curve). Инициатором для нее является отрезок единичной длины, а генератор показан на рис. 1.14 справа. Он состоит из 7 отрезков длиной 1/л/7 каждый (поэтому фракталь-
Рис. 1.14. Инициатор и генератор для кривой Госпера.
ная размерность этой кривой тоже равна 2). Пунктиром показана треугольная решетка, служащая своеобразной образующей для этого генератора. Следующие три шага процесса построения показаны на рис. 1.15.
Рис. 1.15. Следующие 3 шага в построении кривой Госпера.
Интересной отличительной особенностью кривой Госпера является то, что граница области, называемой "островом Госпера", которую
27 она заполняет в пределе бесконечного числа шагов, сама является фрактальной с нецелочисленной размерностью D = In 3 / In л/7 = = 1.1291. Такие острова можно использовать для непрерывного по-
Sg»-" 23« -
Рис. 1.16. Фрактальная граница острова Госпера.
крытия плоскости, так как можно показать, что они идеально стыкуются друг с другом. Более того, семь таких островов, состыкованных вместе (один в центре и шесть вокруг него), образуют снова остров Госпера в три раза большего размера. Заметим, что подобным свойством из правильных многоугольников обладает только квадрат.
Рис. 1.17. Алгоритм построение дракона Хартера-Хейтуэя.
И наконец, приведем пример кривой Пеано, для которой область, которую она заполняет на плоскости, имеет весьма причудливую форму. Это так называемый дракон Хартера-Хейтуэя (Harter-Heightway dragon). Первые 4 шага его построения изображены на рис. 1.17. Как следует из рисунка, каждый из отрезков прямой на
28 следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй — влево, третий — опять вправо и т.д. Для удобства восприятия на каждом рисунке пунктиром показана конфигурация предыдущего шага. Таким образом, после каждого шага число имеющихся отрезков удваивается, а длина каждого соответственно уменьшается в л/2 раз. Поэтому фрактальная размерность образующейся в результате (после бесконечного числа шагов) кривой равна 2, т.е. кривая заметает собой конечную площадь. О форме образующейся необычной фигуры можно получить представление из рис. 1.18, где изображены 12-е и 16-е "поколения" дракона. Дракон представляет собой своеобразную гирлянду в форме двухсторонней правой спирали, состоящую из подобных друг другу спиралевидных звеньев, непрерывно уменьшающихся в размерах от центра к периферии.
