Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
19 1.1.6 Салфетка и ковер Серпинского
Регулярный фрактал, называемый салфеткой Серпинского (Sier-pinski gasket) 5, получается последовательным вырезанием центральных равносторонних треугольников так, как показано на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Построение салфетки Серпинского.
В результате получается "дырявая" фигура (см. рис. 1.5), состоящая из бесконечного числа изолированных точек. Фрактальная размерность салфетки Серпинского подсчитывается по формуле (1.4)
(1.10)
Здесь на нулевом шаге мы имеем один равносторонний треугольник с длиной стороны I = 1, а на следующем — три равносторонних треугольника со сторонами V = 1/2. Поэтому I = 1, N(I) = 1, а V = 1/2, N(V) = 3. Салфетка имеет нулевую площадь, поскольку нетрудно проверить, что в процессе ее построения была исключена площадь, в точности равная площади исходного треугольника. Об этом же говорит и значение фрактальной размерности D < 2, которая меньше размерности плоскости, на которой находится этот объект.
Подсчитаем теперь периметр исключенных областей. Если сторона исходного треугольника была равна 1, то на первом шаге построения периметр центрального треугольника равен 3/2. На втором шаге к нему добавляются три новых треугольника с общим периметром, равным 9/4 и т.д. Очевидно, что на п-м шаге периметр V определяется
5 Его называют также треугольником Серпинского.
D = = 1.5849 In 2
20 Рис. 1.5. Салфетка Серпинского.
суммой геометрическом прогрессии
3
V
П /QN к
S(I)
(1.11)
С другой стороны, масштаб длины на п-м шаге равен I = 1/2п. Поэтому формула для периметра, выраженного через этот масштаб, приобретает вид, схожий с формулой (1.1) для длины береговой линии
V
(1.12)
где D определяется формулой (1.10).
Рис. 1.6. Инициирующий элемент и генератор для кривой Серпинского.
Можно построить непрерывную линию, обладающую таким значением фрактальной размерности и геометрически эквивалентную сал-
21 фетке Серпинского. Инициирующим элементом для такого построения берется отрезок единичной длины, который потом заменяется на конструкцию, называемую генератором, состоящую из трех отрезков длиной 1/2, расположенных под углом 120° друг к другу (см. рис. 1.6). Затем каждый из этих трех отрезков заменяется, в свою очередь, на генератор в два раза меньшего размера так, как показано на рис. 1.7 слева. Правая часть того же рисунка изображает следующий шаг этой процедуры. Контуры будущей салфетки Серпинского
отчетливо проступают на следующих двух этапах (см. рис. 1.8). Эта процедура повторяется до бесконечности. Легко видеть, что каждое следующее изображение может быть получено из предыдущего путем склеивания трех уменьшенных в два раза его копий, две из которых повернуты на угол в 120° и —120° относительно оригинала.
Аналогично салфетке Серпинского можно построить квадратный ковер Серпинского (triadic Sierpinski carpet), который является двумерным аналогом канторовского множества исключенных сред-
Рис. 1.7. Второй и третий шаги в построении кривой Серпинского.
Рис. 1.8. Следующие два шага в построении кривой Серпинского.
22 Рис. 1.9. Построение квадратного ковра Серпинского.
них третей. Рецепт его создания состоит в следующем. Вначале берется квадрат с длиной стороны, равной единице. Затем каждая из сторон квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д (см. рис. 1.9).
Рис. 1.10. Квадратный ковер Серпинского.
В результате получается дырявый квадратный ковер Серпинского со значением фрактальной размерности
In 8
D =-= 1.8928 . (1.13)
1пЗ v ;
23 Он также представляет собой пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского, т. е. он является в каком-то смысле менее дырявым.
1.1.7 Губка Менгера
Рецепт создания пространственного аналога квадратного ковра Серпинского, называемого губкой Менгера (Menger sponge), состоит в следующем. Каждая грань куба, имеющая единичную длину, делится на 9 равных квадратиков так же, как и при построении квадратного ковра Серпинского. В результате исходный куб разбивается на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной 1/3. Затем, удаляя 7 кубиков (один центральный и 6 из центра каждой из граней), противоположные грани исходного куба соединяются сквозным центральным отверстием квадратной формы. В результате из 27 остается 20 маленьких кубиков.
Рис. 1.11. Губка Менгера.
24 Такая итерационная процедура с вырезанием сквозных отверстий и последующего превращения каждого оставшегося кубика в 20 еще более мелких кубиков с размером в три раза меньше исходного продолжается до бесконечности. В результате этих операций образуется идеально самоподобный объект, называемый губкой Менгера. Каждая грань исходного куба выглядит при этом так же, как квадратный ковер Серпинского (см. рис. 1.11).
