Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разберем теперь некоторые классические примеры регулярных фракталов, которые обладают свойством идеального самоподобия. Их покрытие можно осуществлять элементами, из которых состоит данный фрактал. В этом случае имеет место упрощенный вариант формулы (1.3) для определения фрактальной размерности. Пусть на некотором этапе покрытия фрактала нам пришлось использовать, как минимум, N(I) таких элементов характерного размера а на другом N(V) элементов размера V. Тогда величина фрактальной размерности D может быть вычислена по формуле
что является следствием выражения (1.2). Начнем наше рассмотрение ниже с однородного канторовского множества.
(1.4)
Очевидно, эту формулу можно переписать в виде
(1.5)
16 1.1.4 Канторовское множество
Рецепт его построения заключается в следующем (см. рис. 1.2). Первоначально берется отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается отрезок в середине, находящийся между точками 1/3 и 2/3. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной же процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжается до бесконечности. Нетрудно видеть, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так как мы исключили в результате длину, равную 1:
124 If 2 4 \ 11 /ч
3 + 9 + 2^ + - = з(1 + 3 + 9 + "Нг^ = 1- (L6)
3
Следовательно, возникшее множество представляет собой бесконечное число изолированных торовского множества
ное число изолированных точек, которое и получило название кан-
2
H N=1
н N=2
1/9 1/9 1/9 1/9
і-1 і-1 і-1 і-1 N=4
1/3 1/3
V
OO
Рис. 1.2. Канторовское множество.
Вычислим теперь фрактальную размерность этого множества. Воспользуемся для этого, например, формулой (1.3). Очевидно, что на п-м шаге нашего построения мы имеем 2п отрезков длиной 1/Зп каждый. Поэтому в качестве N(I) на этом шаге мы можем взять величину 2П, а в качестве I — величину 1/3". Предел Z —>• О соответствует
2 Часто так называют любое несвязное фрактальное множество точек с отличной от нуля нецелочисленной фрактальной размерностью D.
17 пределу ті —у оо. Поэтому фрактальная размерность равна
In 2п In 2 , ч
D = - Iim , .. . = — = 0.6309 . 1.7
n^co ln(l/3n) In 3 v )
Она оказалась меньше Евклидовой размерности пространства (d = 1), в котором располагается это множество (т.е. его длина равна нулю), но все-таки отлична от нуля, т. е. больше топологической размерности элементов (точек) этого множества. По математической терминологии данный объект представляет собой несчетное множество точек, обладающее мощностью континуума.
1.1.5 Снежинка Коха
Для построения снежинки Коха выполним следующие операции (см. рис. 1.3). Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний
Рис. 1.3. Снежинка Коха.
треугольник. Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. 1.3. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая
18 из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая 3, которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Она была так названа в честь шведского математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом.
Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в качестве длины стороны исходного треугольника I = 1, тогда число отрезков такой длины, которые покрывают снежинку Коха на этом (нулевом) шаге, равно N(I) = 3. Затем при переходе к следующему шагу (средний фрагмент в верхнем ряду на рис. 1.3) мы имеем V = 1/3, а число отрезков N(V) = 12. Поэтому фрактальная размерность снежинки Коха (в соответствии с (1.4)) равна
Эта величина больше единицы (топологической размерности линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2, на которой расположена кривая. Таким образом, снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь 4. На п-м шаге ее длина L = 3 • (4/3)п. Если в качестве масштаба измерения взять величину I = (1/3)п, то формулу для L можно представить в виде, аналогичном формуле (1.1) для длины береговой линии
(л \ п / гу\ D
-J =MyJ , где R = 31/jD и 2.39, (1.9)
a D определяется выражением (1.8). При этом вычисленное выше значение фрактальной размерности может, очевидно, быть получено из общей формулы (1.4) при рассмотрении любых двух итераций с номерами п и п + т. Это является следствием идеального самоподобия.
3 Т.е. она не имеет производной ни в одной точке.
4 Нетрудно убедиться, что она никогда не выходит за пределы окружности, описанной около исходного треугольника.
