Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Божокин С.В. -> "Фракталы и мультифракталы " -> 5

Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 128 c.
Скачать (прямая ссылка): fraktaliimultifraktali2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 36 >> Следующая


1.1.2 Длина береговой линии

Первоначально понятие фрактала в физике возникло в связи с задачей об определении длины береговой линии. При ее измерении по имеющейся карте местности выяснилась любопытная деталь — чем более крупномасштабная берется карта, тем более длинной оказыва-

Рис. 1.1. Определение длины береговой линии между точками А и В.

ется эта береговая линия. Пусть, например, расстояние по прямой между расположенными на береговой линии точками А и В равно R

В

13 (см. рис. 1.1). Тогда, чтобы измерить длину береговой линии между этими точками, мы расставим по берегу жестко связанные друг с другом вешки так, что расстояние между соседними вешками равнялось бы, например, I = 10 км. Длину береговой линии в километрах между точками А и В мы примем тогда равной числу вешек минус одна, помноженному на 10. Следующее измерение этой длины мы произведем подобным же образом, но расстояние между соседними вешками сделаем уже равным I = 1 км.

Оказывается, что результат этих измерений будет различным. При уменьшении масштаба I мы будем получать все большие и большие значения длины. В отличие от гладкой кривой, линия морского побережья оказывается зачастую настолько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов), что с уменьшением длины звена I величина L — длина береговой линии — не стремится к конечному пределу, а увеличивается по степенному закону

где D > 1 — некоторый показатель степени, который называется фрактальной размерностью береговой линии. Чем больше величина D1 тем более изрезанной является эта береговая линия. Происхождение зависимости (1.1) интуитивно понятно: чем меньший масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая масштаб, мы "спрямляем" побережье, уменьшая длину L.

Таким образом, мы видим, что для определения длины береговой линии L с помощью жесткого масштаба I (например, с помощью циркуля с фиксированным раствором), необходимо сделать N = L/1 шагов, причем величина L меняется с I так, что N зависит от I по закону N « (R/l)D. В результате с уменьшением масштаба длина береговой линии неограниченно возрастает. Это обстоятельство резко отличает фрактальную кривую от обычной гладкой кривой (типа окружности, эллипса), для которой предел длины аппроксимирующей ломаной L при стремлении к нулю длины ее звена I конечен. В результате для гладкой кривой ее фрактальная размерность D = 1, т. е. совпадает с топологической.

Приведем величины фрактальных размерностей D для различных

(1.1)

14 береговых линий. Например, для Британских островов D « 1.3, а для Норвегии D « 1.5. Фрактальная размерность побережья Австралии D « 1.1. Близкими к единице оказываются и фрактальные размерности других побережий.

1.1.3 Фрактальная размерность множества

Выше мы ввели понятие о фрактальной размерности береговой линии. Дадим теперь общее определение этой величины. Пусть d — обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект (d = 1 — линия, d = 2 — плоскость, d = 3 — обычное трехмерное пространство). Покроем теперь этот объект целиком (/-мерными "шарами" радиуса I. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее, чем N(I) шаров. Тогда, если при достаточно малых I величина N(I) меняется с I по степенному закону

N(I) ~ ^ (1.2)

то D — называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта. Очевидно, что эта формула эквивалентна соотношению N « (R/l)D, использованному нами выше для определения длины береговой линии.

Формулу (1.2) можно переписать также в виде

0 = (1.3)

г-ю In I v у

Это и служит общим определением фрактальной размерности D. В соответствии с ним величина D является локальной характеристикой данного объекта.

Давайте покажем, что это определение дает привычные нам целочисленные значения размерности для обычных хорошо известных множеств. Так, для множества, состоящего из конечного числа изолированных точек, N, минимальное число (/-мерных "шаров" с помощью которых мы можем покрыть это множество, при достаточно малом размере шаров совпадает, очевидно, с количеством точек, т. е. N(I) =N и не зависит от диаметра этих шаров I. Следовательно,

1 Под "шаром" в зависимости от задачи мы будем понимать также и куб, и квадрат, и просто отрезок прямой.

15 согласно формуле (1.3), фрактальная размерность этого множества D = O. Она совпадает с обычной Евклидовой размерностью изолированной точки d = 0 (точка — нульмерный объект).

Для отрезка прямой линии длиной L (состоящего из бесконечного числа точек) минимальное число N(I) одномерных отрезков размера I, с помощью которых можно покрыть данный отрезок целиком, равно, очевидно, N(I) = Lfl. В этом случае, согласно формуле (1.3) (или (1.2)), фрактальная размерность D = 1, т.е. совпадает с Евклидовой размерностью отрезка прямой d = 1. Для области площадью S гладкой двумерной поверхности число необходимых для ее покрытия квадратиков N(I) = Sfl2 (при достаточно малых I), поэтому фрактальная размерность гладкой поверхности D= 2. И наконец, для покрытия некоторого конечного объема V необходимо N(I) = Vfl3 кубиков с ребром I. Следовательно, фрактальная размерность этого множества D = 3.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed