Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Во второй части пособия рассматриваются основные идеи количественного описания мультифракталов. Для их полной характеристики требуется уже не одна, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае бесконечно. Важность этой науки заключается в том, что большинство природных фракталов на самом деле являются мультифракталами. Говоря кратко, муль-тифрактал — это неоднородный фрактал. В настоящее время теория мультифракталов представляет собой бурно развивающуюся область науки, и основные ее концепции активно используются для объяснения многих явлений в самых различных областях естествознания.
Мультифрактальный анализ с успехом применяется при описании структурного распределения неоднородных звездных скоплений в астрофизике, при исследовании агрегационных свойств клеточных элементов крови в биологии, для характеристики основных этапов эволюции ансамбля дислокаций и усталостного разрушения материалов в физике металлов. Мультифрактальные концепции широко используются в теории развитой гидродинамической турбулентности, при изучении несоразмерных структур и квазикристаллов в физике твердого тела, в теории спиновых стекол и неупорядоченных систем, в квантовой механике и физике элементарных частиц.
10 В настоящее время теме фракталов и мультифракталов посвящено много книг и обзоров (в основном на английском языке), огромное число страниц в Интернете и большое количество научных статей, опубликованных в ведущих научных журналах мира по математике, физике, химии, биологии, астрономии, экономике и языкознанию и др. Если бы мы захотели привести полную библиографию этих работ, то для ее опубликования потребовалась бы, как минимум, отдельная книга. Мы ограничились лишь некоторыми основными доступными, а также, на наш взгляд, ключевыми работами, приведенными в списке используемой литературы. Читатели этих трудов смогут найти в них фамилии ученых, внесших свои оригинальные идеи в современную науку о фракталах. Приведен также сравнительно большой, хотя и далеко не полный перечень "фрактальных" страниц в Интернете. На них обсуждаются многие затронутые проблемы и содержится огромная коллекция рисунков самых различных фракталов и фрактальных структур, а также доступных компьютерных программ, используемых для их построения.
Авторы надеются, что данное учебное пособие поможет студентам и аспирантам в их первом знакомстве с удивительным миром фракталов и будет способствовать дальнейшему более глубокому изучению этого интереснейшего раздела современной физики.
11 1 ФРАКТАЛЫ
1.1 Регулярные фракталы 1.1.1 Понятие фрактала
Сравнительно давно в математике возник образ объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. Так в науке возникло понятие фрактала [1].
Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т. е. ему, как говорят, присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.
Конечно, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины Zmm, такой, что на расстояниях Z ~ Zmin его основное свойство — самоподобие — пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин Z > Zmax, где Zmax — характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах Z, удовлетворяющих соотношению Zmm Z Zmax. Такие ограничения являются довольно естественными, потому что, когда мы приводим в качестве примера фрак-
12 тала — изломанную, негладкую траекторию броуновской частицы, то мы понимаем, что этот образ является очевидной идеализацией. Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность массы и размеров броуновской частицы, а также конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств траектория броуновской частицы становится плавной кривой.
Отметим, что свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способа построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д.), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают.
