Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
7 ния фракталов столь схожи с естественными, природными формами, что их невозможно отличить друг от друга. Стремительное вторжение компьютеров в мир искусства во многом изменило понятие красоты и гармонии, живописной выразительности и точности воссоздания окружающего мира.
Конечно, до сих пор не утихают споры — может ли вычислительная машина создавать произведения искусства. И хотя, на наш взгляд, становится постепенно ясно, что ответ на этот вопрос скорее является положительным, давайте оставим предмет этого спора будущим искусствоведам и философам и перейдем к непосредственному изучению этого нового раздела естествознания.
Несколько слов об истории развития идей фрактальной геометрии. Она тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Так Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной размерности множеств и привел первые примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, мало в то время известные за пределами чистой математики. Оригинальные идеи Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты Безиковичем.
Большой вклад в будущую фрактальную геометрию внесли также знаменитые работы французских математиков Г. Жулиа и П. Фату, которые в начале 20 века занимались теорией рациональных отображений в комплексной плоскости. Практически полностью забытая, их деятельность получила неожиданное развитие в начале восьмидесятых годов, когда с помощью компьютеров математикам удалось получить прекрасные картины, показывающие примеры таких отображений. Это уже была эра фрактальной геометрии, поскольку незадолго до этого, в середине 70-х годов, в науке появился совершенно новый термин "фрактал", характеризующий нерегулярный, но самоподобный объект, который удобно было характеризовать нецелочисленной размерностью.
Для многих стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка
8 и непредсказуемости. Может быть, в будущем новые идеи фрактальной геометрии помогут нам изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящее время фракталы и мультифрак-талы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.
Язык фрактальной геометрии необходим, например, при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах, для характеристики сильно развитой турбулентности, при моделировании свойств поверхности твердых тел, для описания диэлектрического пробоя и молнии, при анализе процессов усталостного разрушения материалов, при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии и последующей агрегации, в квантовой механике при описании геометрической структуры волновых функций в точке перехода Андерсона металл-диэлектрик. Удивительно то, что сходные геометрические формы встречаются в совершенно различных областях науки: в астрофизике при описании процессов кластеризации галактик во Вселенной, в картографии при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел и, например, в биологии, при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.
Данное пособие представляет собой введение в физику и геометрию фракталов и мультифракталов. Оно состоит из двух частей. В первой части излагаются ставшие уже классическими различные примеры фрактальных структур. Основной количественной характеристикой фрактала здесь является его фрактальная размерность. Вначале подробно разбираются математические модели идеально самоподобных (регулярных) фракталов: однородного канторовского множества, кривой Коха, салфетки и ковра Серпинского, губки Менгера и Вселенной Фурье. Для большинства из них фрактальная размерность может быть вычислена аналитически. Даются также примеры кривых Пеано, которые плотно заполняют некоторые области на плоскости (часто имеющие фрактальную границу) и имеют целочисленную фрактальную размерность, равную двум.
9 Далее в пособии рассматриваются системы линейных отображений на плоскости, аттракторами для которых являются введенные выше регулярные фракталы, а также многие другие. Подробно анализируется, например, класс сжимающих аффинных преобразований, которые позволяют воссоздать на экране компьютера изображение листа папоротника, которое очень трудно отличить от реально существующего в природе.
В заключении первой части рассматриваются нелинейные комплексные отображения, главным из которых безусловно является простейшее квадратичное. Особенностью этих отображений является то, что границы их областей притяжения имеют, как правило, фрактальную структуру. Это так называемые множества Жюлиа и связанное с ними множество Мандельброта. Сходной задачей является итерационный процесс нахождения корней кубического уравнения z3 = 1 на комплексной плоскости с помощью так называемого алгоритма Ньютона. Оказывается, что области притяжения для корней этого простого уравнения тоже имеют сложную фрактальную границу.
