Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
"Вся наука записана в этой великой книге, — я имею в виду Вселенную, — которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного ее слова; без них он подобен блуждаещему во тьме."
До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако очевидно, что этот классический набор, вполне достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применимым для характеристики таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, поверхность клеточной мембраны и др. В последние 15-20 лет для описания этих и им подобных образований ученые все чаще используют новые геометрические понятия.
5 Одним из таких понятий, изменившим многие традиционные представления о геометрии, явилось понятие фрактала. Оно было введено в обращение замечательным французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. И хотя в математике похожие конструкции в той или иной форме появились уже много десятков лет назад, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы нашего столетия. Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла замечательная книга Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы" [1]. Фрактальные объекты, согласно своему начальному определению, обладают размерностью, строго превышающей топологическую размерность элементов, из которых они построены. Характеризуя новые идеи, Мандельброт писал:
"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно".
Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также, как и на больших. Здесь следует провести разницу между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна. Фрактальная же кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотичной. Для нее, в частности, не существует и понятия касательной в точке, так как функции,
6 описывающие эти кривые, являются в общем случае недифферен-цируемыми.
Возможно, что наиболее убедительным аргументом в пользу изучения фракталов является их бросающаяся в глаза красота. Фрактальные объекты удивительным образом перекинули мост между логическим подходом к познанию природных явлений, который присущ научному мышлению, и интуитивным подходом, когда человек пытается воссоздать окружающий мир с помощью богатства эстетических форм и звуков. Оказывается, что при анализе многих фракталов, построенных на основе точных математических алгоритмов, более уместны эстетические категории и ассоциации. В подтверждение этого приведем слова выдающегося немецкого математика Германа Вейля (1885-1955 гг.):
"В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красоту".
Многие крупные достижения науки о фракталах стали возможны только с использованием методов вычислительной математики, которая в настоящее время немыслима без применения современных компьютеров. "Компьютерные эксперименты" позволили получить достаточно полное представление о разнообразных фрактальных структурах и причинах их возникновения. Часто теоретическое моделирование этих структур подчас даже опережало экспериментальные методы изучения реальных природных объектов сложной формы.
Любопытно отметить, что с появлением фракталов вычислительная математика стала сама непосредственно участвовать в создании истинных эстетических ценностей. Главным образом это относится к компьютерной графике, которая переживает сегодня период интенсивного развития. Она оказалась способна воссоздать на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм и пейзажей, погружая зрителя в удивительное виртуальное пространство, существующее в "воображении" компьютера. В настоящее время при помощи сравнительно простых алгоритмов появилась возможность создавать трехмерные изображения фантастических ландшафтов и форм, которые способны преобразовываться во времени в еще более захватывающие картины. С другой стороны, часто искусственные изображе-
