Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
6 Скопления имеют форму правильного восьмигранника — октаэдра (гранями которого являются 8 равносторонних треугольников), в 6 вершинах и в центре которого расположены 7 галактик.
32 до бесконечности. Возникает естественный вопрос, а нельзя ли эту "процедуру замены" перевести на язык математических формул.
Так или примерно так в середине 80-х годов появился метод Систем Итерируемых Функций — СИФ (Iterated Function System — IFS) как простое средство получения фрактальных структур. Он был придуман американским математиком М. Барнсли (М. Barnsley), работавшим тогда в технологическом институте штата Джорджия. Сущность этого метода на примере уже упомянутой выше салфетки Серпинского заключается в следующем.
(1/2,>/3/2) (1/2,>/3/2)
Поместим исходный равносторонний треугольник с длиной стороны, для определенности равной единице, на комплексную плоскость [z] так, как показано на рис. 1.20 слева. Теперь зададимся вопросом, каким линейным преобразованием на комплексной плоскости он переводится в равносторонний треугольник в два раза меньшего размера, показанный на рис. 1.20 справа? Ответ достаточно прост. Поскольку левое основание обоих треугольников лежит в начале координат Z = 0, то функция fi(z), осуществляющая это преобразование, определяется выражением
h : Ш = Ї*. (1.19)
Если теперь сместить этот маленький треугольник по горизонтали вправо на величину, равную 1/2, то получим преобразование переводящее исходный треугольник в треугольник, изображенный на рис. 1.21 справа. Соответствующая этому преобразованию функ-
33 Рис. 1.21. Преобразование t2.
ция /2(2), очевидно, равна
h(z) = \z + \. (1.20)
Наконец, последний, третий, маленький треугольник получается с помощью преобразования ?3, показанного на рис. 1.22. Отвечающая
Рис. 1.22. Преобразование 13.
ему функция /з(г) получается из f\(z) трансляцией на комплексный вектор 1/4 + гл/3/4
*»¦¦ = + \ + (1.21)
В итоге три вышеназванные линейные функции fi(z), /2(2) и fa(z) осуществляют искомое преобразование исходного треугольника в три треугольника в два раза меньшего размера. Возникает вопрос, а что будет, если теперь каждый из этих трех маленьких треугольников в
34 свою очередь подвергнуть этим трем преобразованиям. Тогда возникнет уже 9 треугольников с размером в 4 раза меньше исходного. Непосредственной проверкой можно убедиться, что это приводит к картинке, изображенной на рис. 1.4 справа.
Рис. 1.23. Преобразование t2t3.
Например, выполняя сначала преобразование ?3, а затем преобразование ^2? мы в итоге получаем треугольник со стороной 1/4, показанный на рис. 1.23 справа, и т.д.. Общий случай показан на рис. 1.24 справа, где изображены все эти треугольники с обозначением результирующего преобразования — генеалогического кода, при помощи которого они были получены из исходного треугольника. Слева показан первый шаг итерационной процедуры. Большой треугольник, в который "вписаны" подобным образом три маленьких треугольника в два раза меньшего размера, мы будем ниже называть ячейкой.
Рис. 1.24. Два первых поколения итераций системы из трех линейных отображений.
Комбинация tjti, стоящая в каждом из девяти маленьких треугольников, означает, что этот треугольник был получен из исходного сна-
35 чала применением преобразования а затем к полученному треугольнику было применено преобразование tj. Правило построения этой последовательности легко угадывается. На первом месте справа стоит первое преобразование. Оно соответствует позиции данного треугольника в его ячейке в соответствии с обозначениями на рис. 1.24 (слева). На втором месте стоит второе по счету преобразование, которое соответствует позиции уже этого большого треугольника в его ячейке и т. д. Отметим очевидную некоммутативность двух (разных) преобразований, т.е. генеалогические коды (t^) и (^i) соответствуют разным треугольникам.
Ниже на рис. 1.25 приведено 4-е поколение итераций, состоящее из З4 = 81 треугольника, и показан генеалогический код двух из них. Ясно, что, действуя подобным образом, мы в точности воспроизводим алгоритм построения салфетки Серпинского. Поэтому после бесконечного числа шагов мы придем в конце концов к множеству точек, образующих этот фрактал.
Рис. 1.25. 4-е поколение итераций.
Сам по себе этот факт безусловно интересен. Но, с другой стороны, что мы при этом узнали нового? Несколько другим способом получен уже известный фрактал, и все? Оказывается, что далеко не только
36 это. Принципиально новое заключается в том, что для получения точно такого же предельного результата мы могли бы стартовать с любой фигуры, необязательно имеющей форму равностороннего треугольника. Это, например, мог быть круг или квадрат или любая другая замысловатая (и даже несвязная) фигура, произвольным образом расположенная на плоскости. На каждом шаге уменьшаясь в размерах в два раза и утраиваясь в количестве, эти фигуры в конце концов превратились бы в неразличимые глазом бесформенные точки, образующие фрактал — салфетку Серпинского.
Причина такого поведения предельно проста. Она заключается в том, что салфетка является своеобразным аттрактором для этой системы из трех линейных преобразований fi(z), /2(2) и /з(г), называемых в литературе Системой Итерируемых Функций или сокращенно СИФ. Поскольку салфетка — аттрактор, то, как мы увидим ниже, процесс его построения можно было начать даже с одной единственной точки!
