Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
показатёлем 7 = 2. Полученное эффективное движение двумерного газа
является изэнтропическим, поскольку gf2р0 = const.
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ у~2
257
г Таким образом, для построения автомодельных решений в теории мелкой
воды достаточно найти среди автомодельных решений вида (1.9) (при у = 2,
и == 0) движения газа с постоянной энтропией. Согласно (1.1),
- - - гш?~2 Р - -i- ( г - (6 11)
р * ~ аТ 1 R* ~ уа [ f(2-s)/(fr+5) ) R •
В силу уравнений (2.2) и (2.3) получаем (у = 2, U = 0)
dln(z/R) __ 77гВ_1- ^^ s)/(^ "Ь /а 4о\
d In А, - • Г.,.(ЬЛ^)
При б = (2 - s)!(k + 5) (или х = 2J(1 - б)) из (6.11) и (6.12) следует,
что pip2 - const. Поэтому при этих значениях параметров автомодельные
решения (1.9) являются изэнтропическими.
Описанные выше автомодельные движения газа (6.3)-(6.4) при х = б = 2/3 =
2 (1 - б) являются изэнтропическими и определяют поэтому интегрируемые
автомодельные движения в теории мелкой воды. При 8 = 1их = 2(1-б)=0в
теории мелкой воды существуют автомодельные решения двух типов,
аналогичные решениям, описанным в пп. II, III § 5. Решения первого типа
соответствуют траекториям системы (5.9) при U = 0, идущим вдоль
последовательности сепаратрис X3XJ, Х\Х\, X\Zl (см. рис. 35), и описывают
автомодельное растекание от центра вращающегося тонкого слоя жидкости,
имеющего постоянную толщину при г ->оо и расширяющуюся от центра
внутреннюю границу.
Для построения решений второго типа исследуем особые точки на линии (3.2)
(при произвольных х, б):
V = 1/2, ?2 = ?20> U = 0, *0 = " (О* + 1/4), (6.13)
где а = (1/2 - б)/(х - 1) 0. Линия (6.13) при б ]> 1/2, х < 1
и Р = (1/2 - б) (х - 1) - 1/4 > 0 разбита поверхностью не-продолжимости
решений L = z -"(V - б)2 = 0 на две части: 1г (L < 0, 0 < ?20 < (З1/2) и
/2 (L^> 0, ?20 ]> Р1^). Собственные числа Л2)3 системы (2.1) при у = 2, U
= 0 в особых точках линии
(3.2) удовлетворяют следующему характеристическому уравнению (собственное
число = 0 в силу одномерности линии (3.2)):
Я2 + Я (2z0 +'2$ + 1/2) Ц1 + Ц1 = 0, (6.14)
L0 = z0- (1/2 - б)'.
Таким образом, Я2*Яз = Lq1, следовательно, отрезок It состоит из
неустойчивых (седловых) особых точек, а отрезок /2 состоит из
притягивающих особых точек.
Динамическая система (2.1) при у = 2, U = 0 с помощью интеграла Ф3 = z (V
- б) ?2"2 сводится к однопараметрическому се-
258
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
мецству (в зависимости от величины интеграла Ф3) систем двух ур9вдений на
плоскости z, V. Фазовый портрет одной из таких систем при Р 0 показан на
рис. 37. Существует единственная траектория X, идущая из неустойчивой
особой точки ZQ, лежащей на отрезке 1Х линии (3.2), в притягивающую
особую точку Z\.
Автомодельное решение, соответствующее траектории X, регулярно при всех г
О и имеет при г 0 асимптотику точного решения (3.4), а при г оо -
асимптотику (5.4). При значениях параметров 1/2 <С б < 1, 1 - 8 < х < 1,
все ха-
рактеристики газа р, р, v, w стремятся к нудю при г оо. В этом случае
рассматриваемые решения описывают расползание вращающегося плазменного
шнура (угловая скорость вращения максимальна на оси г = 0), а также
растекание вращающегося тонкого слоя жидкости, толщина которого h 0 при г
-"• оо. Эти решения применимы в некоторой конечной области 0 < г < С при
0 < Ci < t < С2 (поскольку при х < 1, 7 = 2 полная энергия и масса газа
при г -+¦ оо расходятся; см. (5.5)). При 6 = 1, х = 0 в автомодельном
решении X имеем р р ~^р0 при г ->• оо, следовательно, в теории мелкой
воды для'этого решения толщина слоя жидкости h const при г -> оо. В этом
случае решение X можно рассматривать как модель затухающего
крупномасштабного вихря в океане.
Укажем в теории мелкой воды автомодельные решения с движущимися
разрывами, которые принято называть борами или, в стационарном случае,
гидравлическими прыжками [151]. Условия на разрыве в теории
мелкой воды являются следствием изэнт-
ропичности движения (g/2р0 = const; см. (6.10)) и законов сохра-
нения массы и импульса:
б) = Rz (F2 - б), (6.15)
-** q1 = q2.
Рде. 37. Фазовый портрет динамической системы (2.4) при 7=2, U = 0 на
уровне интеграла Фз = С в области V < Ь после разрешения вырожденных
особых точек и пополнения области z^O, V < 6 границей на бесконечности.
Zi/i?i - z?fR2, R\ (Vi
Vt-6 +
2(Vx-6)
:F2-6 +
2 (^a - ") '
Здесь индексы 1 и 2 обозначают величины по разные стороны от разрыва.
Отметим, что в теории мелкой воды энергия на разрыве
§6j
ЙЕкОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕЙИЯ ПРИ Y-2
259
не сохраняется (в отличие от условий Гюгонио (см. главу V, (5.5)) на
ударных волнах в классической газовой динамике). Из условий
(6.15) получаем
г'=-±1тЧ-т^г+ {(-vfbrf+8^}'n)-
Для построения автомодельного решения с движущимся разрывом рассмотрим
при 1/2 С б < 1, х = 2 (1 - б) некоторую сепаратрису У, выходящую из
(неустойчивой)^ особой точки Z\ (см. рис. 37) - например, при б = 2/3 -
точное решение (6.3). В особой точке ZjJ согласно (4.8) и (4.5) имеем
