Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 101

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 121 >> Следующая

свободной границей можно доказать также с помощью теоремы вириала [171].
Согласно теореме вириала, если в лагран-жевой системе с лагранжианом L -
Т - U (где кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U являются
однородными функциями степени 2 и к соответственно) существует
ограниченная при всех t траектория, то усредненные вдоль этой траектории
х) Приведенное ниже доказательство является обобщением рассуждений работы
[161], где при у = 5/3 впервые был найден первый интеграл (1.18) и с
помощью этого интеграла доказано (для у = 5/3), что при t -" +оо
происходит бесконечный разлет газового эллипсоида.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
265
величины Т и U удовлетворяют равенству 2Т = к и- Для лагран-жевой системы
(1.10) имеем к = 3 (1 - у) < 0, поэтому равенство 2Т = 3 (1 - 7) (det
(F))1-? невозможно, что и означает отсутствие ограниченных при всех t
движений газового эллипсоида.
Важным свойством динамики газового эллипсоида, находящегося под действием
внешнего давления (а = - 1), является наличие сингулярностей det (F (?*))
= 0. Существование таких сингулярностей можно установить с помощью оценок
величины D. При o' == - 1 равенства (1.15) принимают вид
D = 6 (7 - 1) Е + 2 (5 - З7) Г.
Ъ = 4Е + 2 (5 - 3v)(det(F))1^. (1Л9)
Отсюда при у 5/3 получаем
D < 6 (У - 1) Е* + At + в• (1.20)
Из (1.20) следует, что при у 5/3, о = - 1, Е < 0 решение
существует на конечном отрезке времени I: t0 t ^ t\
(поскольку
d = 4 + 4 + 4 ^ 0) и, следовательно, имеет сингулярности det (F (t0)) =
det (F (Jx)) = 0 (иначе решение продолжалось бы вне отрезка I).
Для исследования сингулярностей решения при всех 7 1,
а = - 1 можно использовать следующую функцию:
(In (det (Fl)))-' = S Fl (F-1)?- S Fl(F^)f F%(F~')* =
i,kta, 0
= - (Y -1) S ((F-1)!)2 (det (F))i-v - Тг (-42), (1.21)
i, к
где матрица A = F (c) F"1. Матрица А является симметричной (A = Al), если
интеграл К = 0 (см. (1.12)). В этом случае из (1.21) в силу Тг (А2) = Тг
(А о А1) ;> 0 получаем
(In (det (П))Г < 0. (1.22)
Следовательно, при К = 0 функция det (Fl (t)) является выпуклой вверх
функцией и поэтому, по крайней мере при одном направлении времени t,
решение имеет сингулярность det (F (?*)) = 0.
III. Преобразование динамической системы. Изучение динамики решений
(1.2) во времени сводится, как показано выше, к изучению динамики
лагранжевой системы (1.10). Эта система для простейших классов матриц F)
(скалярных, осесимметричных) была изучена в работах [156, 161] ,
использующих стандартные методы анализа. Изучение системы (1.10) в общем
случае при ненулевых интегралах (1.12) требует привлечения методов
качественной теории дифференциальных уравнений.
266
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [ГЛ. VII
Первым шагом применения этих методов" является построение динамической
системы, определенной на некотором компактном многообразии S с границей
Г, эквивалентной системе (1.10) и имеющей достаточно простые особые
точки. Поскольку все последующие рассмотрения не зависят от конкретного
вида потенциала в (1.10), мы будем рассматривать общую лагранжеву систему
d dL дЬ dt dqx ~ dq{
с лагранжианом
п
г=1
где а < 0, а = ±1, U (qt) - однородная функция степени \i 0 такая, что
поверхность U (qt) = 0 имеет размерность п - 1. Для системы (1.10) а = 1
- у, qt = F{, U (gf) = det || FJk J|, n = 9, |x = 3. Лагранжева система
(1.23) в фазовом пространстве имеет вид
Pi - - ааС/4*-1 , qi = Pi, 1 = 1,2,л. (1.25)
Эту систему мы рассматриваем в области U (д*) 0 (точки гра-
ницы U (qt) = 0, согласно (1.11), отвечают физической особенности
решения). Система (1.25) допускает группу масштабных преобразований
qt -+Xqt, Pt -+kaM*Pt, t (1.26)
n
При этом преобразование энергии Е = г12 21 ^1+ (qi)a имеет
З-i
вид Е -*%а^Е. В силу наличия группы масштабных преобразований (1.26),
система (1.25) допускает понижение порядка, т. е. эквивалентна некоторой
системе от 2п - 1 переменных.
Для построения компактного многообразия S размерности 2п - i введем две
локальные карты Wx и W2. В локальной карте Wx введем координаты
о__
j,?)•'•' p,= w
В локальной карте W2 - следующие координаты:
(1.23)
(?*))", (1-24)
Р.
'УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
267
п
Координаты i/i нробегают единичную сферу 5"-1: 23 J/f = 1 • Коор-
i=i
П
динаты pi также пробегают единичную сферу S(tm)"1: 2!jPi = l>
i=i
в то время как координаты р° пробегают все евклидово пространство Еп.
Координаты А = ?°/(2Срз)2)1/2> w= 1/(S (Рз)2)1/г ком" пактифицируют
евклидово пространство Еп на бесконечности -
п
ей отвечает сфера го = О, 2 р?=1. Таким образом, координаты
г=1
p°i,pi,w можно представлять себе как пробегающие единичный
п
шар Dn: 2j в окрестности центра шара координаты р?, а
i-1
п
в окрестности граничной сферы 5,п-1 (21 А = l) координаты р*, го.
i=l
Многообразие 5 в локальных картах Ifi и И^2 выделяется условиями
U (Уг) > 0, w > 0.
Граница Г многообразия S' состоит из двух компонент Г = Г0 [j Гх.
Компонента Г0 определяется условиями w = 0, U (yt) ^ 0, а компонента 1\ -
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed