Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
х* - Fit (0 а*> i, к = 1, 2, 3
(1.2)
(1.3)
р (О R (С) Fl (F-^ J = р (t) 2Lg№ (F-ijf (F-in^y,
(1.5)
262 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [ГЛ. VII
Из системы (1.5) получаем следующие необходимые условия: в (С) = ,
р(0 = (det (FiV,
р (t) = С3 (det (Ft))-*.
После подстановки этих выражений в уравнения динамики (1.5) получаем
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Ц = С (det Fy-vglk (F-v&if*, С = С&С* (1.7)
Система (1.7) является лагранжевой системой. Действительно, после свертки
уравнений (1.7) с тензором gkjr\im получаем систему уравнений
Flg^im = С (det (F)y-v (F-% = - , (1.8)
которая, очевидно, имеет лагранжев вид
dL дЬ Щ ~
d dL dL ____ jpm
1Г да, ~ dq. 9 ** ~ j
с лагранжианом
L = ± FlF?gk%rn - y=T (det (4-9)
Таким образом, в случае индефинитной метрики gtj движения газа с
однородной деформацией описываются лагранжевой системой (1.8)-(1.9) с
индефинитной кинетической энергией. В случае индефинитной метрики gtj
поверхности постоянного давления и постоянной плотности газа являются
гиперболоидами (см. (1.4)); поэтому такие решения могут быть
использованы, например, для моделирования движений газа типа смерчей в
атмосфере (наряду с автомодельным вращением газа, изученным в главе VI).
В дальнейшем рассматриваются два случая - положительно и отрицательно
определенной метрики gijt Без ограничения общности можно считать, что gtj
= в6{; cr = ± 1, Сг = = Д,
С3 = С = у - 1. При таких нормировках лагранжева система (1.8) принимает
вид
Fk = o(y - 1) (det (F)y~y (F-1)* = - a . (1.10)
dlk
Давление p и плотность газа p даются формулами
р= , р-^ЧРАЦ (1Л))
(*t О(¦!•>")) '
где Р (?) - произвольная функция параметра ? = - a (al + а% + + a|)/2. Из
условия неотрицательности плотности газа р следует
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
263
(см. (1.11)) необходимое условие dP (?)/d? ;> 0. Взяв функцию Р (?) = ехр
(?) при а = + 1, получим изотермическую массу газа, заполняющую все
пространство и имеющую гауссовское распределение плотности. Если же
функция Р (?) финитна и имеет вид, показанный на рис. 38, то получаем
конечную массу газа со свободной границей, на которой р = р = 0. При а =
-1 давление растет при удалении от центра (аг = 0); в этом случае газ
находится под внешним давлением, изменяющимся согласно (1.11). Отметим,
что поверхности постоянной плотности и давления газа в^эйлеровых
координатах xt являются эллипсоидами, форма и расположение которых в
пространстве изменяются"в силу системы (1.10).
И. Общие свойства динамики газового эллипсоида. Лагран-жева система
(1.10) инвариантна относительно шестимерной группы преобразований
F -*0\F0i,
где 0± и (?2 - ортогональные матрицы, и имеет вследствие этого шесть
первых интегралов, образующих две трехмерные кососимметричные матрицы:
J = FF* •- FF\ К = F*F - FlF (1.12)
(здесь F* - транспонированная матрица F). Интегралы / и К впервые были
указаны в работе [159]; эти интегралы связаны с сохраняющимся полным
моментом количества движения газа и вихрем. Если J = К - 0, то после
некоторого преобразования F -> 0\F0i матрица F) во все моменты времени
приводится к диагональному виду.
Полная энергия газа, заполняющего эллипсоид, пропорциональна интегралу
энергии лагранжевой системы (1.10) (см. [159]):
з
Е = Т + a (det (F))м, Г = -|- ?, (Н)2- (1.13)
г,к
При а = + 1 из вида интеграла энергии Е следует, что решения сиетемы
(1.10) существуют при всех t: -оо <Ct<C + 00 (траектории системы (1.10)
не входят в особые точки, поскольку из (1.13) следует det (F) ^и не
уходят на бесконечность за конечное время, поскольку (F\)2 < 2Е).
Покажем, что при t -"-± оо движение газового эллипсоида со свободной
границей (сг = + 1)
Рис. 38. Вид функции Р (Qу обеспечивающий выполнение условий р = р = = 0
на границе газового эллипсоида.
264 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [ГЛ. VII
является неограниченным 1). Оценим скорость изменения суммы квадратов
полуосей газового эллипсоида
D = <% + <% +4 = Тг (FoFf) = S (Fi)\
i,k
В силу уравнений (1.10) получаем
3 8
D = 2S (Flf + 2 S F\F\ = 4Т + 6 {у - 1) (det (F))i-v. (1.14)
г, ft: i,k
Заменив поочередно каждое из двух последних слагаемых в (1.14) их
выражениями из интеграла энергии (1.13), находим
D = 6 (у - 1) Е + 2 (5 - 3V) Т, (1 15)
D = 4Я - 2 (5 - Зу) (det (F))i~v.
Отсюда в зависимости от величины у 1 получаем следующие неравенства:
у < 5/3: 6 (у - 1) Е < D < 4Е, у > 5/3: 4Е<&<6(у-1)Е.
Из (1.16) следуют оценки скорости роста суммы квадратов полуосей газового
эллипсоида
у < 5/3: 6 (V - 1) Et2 + Ait + Bi<D < Ш2 + A2t + Въ
у <С 5/3: 4Et2 -f- Ait -f- B\ <C D <C. 6 (y - 1) Ei? -|- A2t -f- B2•
(1.17)
При у = 5/3 оба выражения (1.15) совпадают и определяют дополнительные
интегралы А и В системы (1.10), указанные впервые в работе [161]:
D = 2 Et2 + At + В. (1.18)
В силу (1.17), (1.18) получаем, что при всех у 1 сумма квадратов полуосей
газового эллипсоида D оо при t -*¦ ± оо.
Отсутствие ограниченных'(при всех t) движений газового эллипсоида со
