Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Не изменяя метрический тензор на границе области интегрирования, варьируем его внутри области путем малого преобразования координат. В результате компоненты метрического тензора и их ^производные в каждой внутренней точке получат приращения
bgii* = ^r 6Bib Sgl*a? = дх*дхь • • •
« то время, как величина интеграла сохранит прежнее значение. Следовательно,
[^ЪцУ^Ь+[-SjfcbtoibVziS <* + "-=0- (5^3) 5. Неоднозначность уравнений поля
145
Принимая во внимание очевидное соотношение второй интеграл в (5,6,3) можно привести к следующему виду:
Первый член этого выражения представляет собой сумму четырех интегралов, соответствующих а = 1, ... 4. Каждый из них допускает непосредственное интегрирование по одной координате и исчезает вследствие условия бgti = 0 на границе. Поэтому написанное выражение сводится ко второму члену.
Аналогично, пользуясь соотношением
UV = (UV)9 + UV0— 2 (UVj9
можно преобразовать третий интеграл в уравнении (5,6,3), а затем и последующие.
В результате подобных преобразований получим
Sl-W-T=Mv=i^)--Kz^=0-
Величины
= Л___I__д—1-лГаЛ—\- ... (56 4)
dg« у-ё WM dSiia) (li)
являются контравариантными компонентами симметричного тензора второго порядка, называемого гамильтоновой производной от инварианта / по метрическому тензору. По определению этот тензор удовлетворяет условию
$ HaV^g ^gijdx = 0. (5,6,5)
Рассмотрим важное свойство гамильтонсвой производной.
Обозначим через Sg[f приращение метрического тензора, соответствующее переходу от координат Xа к координатам Xа + Sxa. Согласно закону преобразования тензора, имеем
irr . ч д(ха + бха) дх* + 6х* /сяяч
8ц = (?a? + Oga?) --^-. (5,6,6)
Величины Sglh определяемые этими равенствами, являются разностями между компонентами метрического тензора в точках Xа + + 6х* и Xа новой и старой систем координат соответственно. Однако они отличаются от вариаций Sglj в (5,6,5), поскольку последние равны разностям между новыми и старыми значениями компонент метр ического тензора в точке xа, так как при варьировании исходного 10 А Ф. Богородский 146
Г лава V. Общая теория относительности
интеграла мы оставляли dx неизменным. Чтобы получить приращения 6ga?, содержащиеся в (5,6,6), к вариациям Sgij необходимо
dg і {
прибавить поправку —? охУ, соответствующую переходу от х?
дху
к Xa + Sxa. Таким образом, для вариаций метрического тензора мы имеем соотношения
gif - (fa? + O?a? + —Ьх J-^J--J3-.
Сохраняя члены первого порядка, можно написать
/ дх* дх& . дха dOx? . дх? абх® \ .
Я«"** { дх* дхі + дх' + дх' a* J +
+ (Oga? + ga?v6*V) 3^ ^ •
Внеся сюда = б?, получим после очевидных упрощений
дх
б Su = - + Sia-^J- + g,a (5,6,7)
Воспользуемся этой формулой для дальнейшего преобразования уравнения (5,6,5).
Прежде всего отметим, что вариации Sgif нельзя считать независимыми; независимыми являются только вариации координат Sxa9 от которых зависят величины Sgift согласно (5,6,7).
Внесем (5,6,7) в (5,6,5). Принимая во внимание симметричность гамильтоновой производной, получим
J Hii v~g Siiabx^ dx + 2 J Hii Vz^ gia dx = 0. (5,6,8) Выполним преобразование
\ Н" V^igia -^Г = J if Wli Vz^giaSx*) dx-
-^ij(Hi!V--ggi*)Sx«dx.
Первый член правой части этого равенства представляет собой сумму четырех интегралов, каждый из которых допускает интегрирование по одной координате. Эти интегралы исчезают вследствие условия Sxa = 0 на границе области интегрирования. Уравнение (5,6,8) принимает вид
J [на* KjTfltfi — 2 (Wap = 0 5. Неоднозначность уравнений поля
147
и, вследствие независимости вариаций координат, приводит к системе четырех равенств
^r (//? V=i) = о,
илй, если ввести смешанные компоненты гамильтоновой производной,
(Н? V=*) --T Hafi У ~g -^r =0- (5.6.9)
Согласно определению ковариантной дивергенции смешанного тензора второго порядка (4,6,7), имеем
Внесем сюда
Я a ^Hf гз -ja r? г/а
иа = + 1 a?/lt — A iati?.
r? _ 1 дУ^-g
и перейдем в последнем члене от смешанных к контравариантным компонентам. Получим
Hfla=^+-J= io я? - ?.
ддс* у— g дх
Напишем символ Кристофеля в развернутой форме и примем во внимание, что суммы
rra? dSifi . rra? ^gfa
отличающиеся лишь обозначением немых индексов, совпадают, вследствие чего последний член правой части предыдущего уравнения приводится к следующему виду:
JL Ha^ dg«?
2 П дх* '
Поэтому можно записать
г-- ^aB
дх1
fi^ = Yh Ur {н? У-^—г^У-ё
Сравнивая это выражение с соотношением (5,6,9), находим
Hffa = 0.
Итак, гамильтонова производная от инварианта, образованного из компонент метрического тензора и их производных, имеет 10* 148
Г лава V. Общая теория относительности
исчезающую ковариантную расходимость. Благодаря этому свойству, она является одним из решений уравнения (5,6,1).
Поскольку с помощью метрического тензора и его производных можно построить различные инварианты, понятие гамильтоновой производной определяет различные решения ковариантного уравнения (5,6,1). К ним принадлежит, в частности, решение Эйнштейна,
