Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
ного поля. Итак, Г44 == -І-
Xii = — кТГг
(5,5,3) 5. Уравнения поля ОТО
139
Как показал в 1917 г. Фермейл 1141, все тензоры второго порядка, зависящие от ^l/, от их первых и вторых производных и являющиеся при этом линейными функциями вторых производных, с точностью до произвольного постоянного множителя имеют следующий вид:
Xli = Rii + ClguR+ C2giif
где Rij — тензор Риччи, R — инвариант этого тензора, C1, C2 — произвольные постоянные.
Постоянная C1 находится с помощью условия С.
Составим смешанные компоненты Xii и образуем* ковариантную расходимость
Xf/a, = Rf/ a + ClSfRja = Rj/a + ClRfi.
Воспользовавшись соотношением (4,9,4), находим, что условие С
выполняется при C1 =--. Следовательно, с точностью до члена
вида C2giJ можно написать
Rii-^giiR=-KTa- (5,5,4)
Уравнения поля в форме (5,5,4) предложены Эйнштейном в конце 1915 г. Они удовлетворяют условиям А — Си указанному выше дополнительному ограничению Эйнштейна. Остается только показать, что они отвечают также условию D, обеспечивая в первом приближении переход к уравнению Пуассона.
Пользуясь разложением gii = 6if + hii9 составим развернутое выражение для тензора Риччи, сохраняя только линейные члены относительно величин Hii и их производных. Прежде всего, заметим, что в случае сигнатуры, применяемой в ОТО (—, —, —, +), определитель, составленный из компонент ковариантного метрического тензора, будет отрицательным. На основании определения тензора Риччи (4,9,1) легко показать, что общее выражение для компонент этого тензора (4,9,3) сохраняется и в этом случае, если только вместо g написать —g. В данном приближении определитель равен
g = ~ 1 — A; A = -A1I-A22-A33H-A44. (5,5,5)
Следовательно,
d2 In V^g ^z 1
дх^дх1 2 дхідхі •
Вычисление символов Кристофеля дает
рос _ 1 есса / dhIa . dhia dhU \ 140
Г лава V. Общая теория относительности
Внесем эти значения в общую формулу (4,9,3). Сохраняя члены первого порядка относительно поправок Iriii и их производных, после необходимых перегруппировок получим следующее выражение для компонент тензора Риччи:
д ( 1 dh ZOadhOL
дх1
Л/= 4-° fcIZ + -F
fldh -Ott dhaj \
\ 2 дхі ° дх" J ^
4- JL/JL JL Saa dhoU V дх^ у 2 дхі дха J
(5,5,6)
Символом ? обозначен дифференциальный оператор д2 д* д* д2
дх12 дх*2 дх*2 ^ дх*2 '
Для упрощения (5,5,6) произведем малое преобразование координат. С этой целью введем систему четырех функций 'aU1,... JC4), каждая из которых имеет порядок величин Hij и удовлетворяет не-, обходимым для дальнейшего аналитическим условиям, но в остальном остается пока неопределенной.
Новые координаты зададим соотношениями = Xа + Za, в которых индексы а и а предполагаются одинаковыми. Компоненты метрического тензора в новой системе координат находим по известным формулам
„ дха дх*
Дифференцируя формулу преобразования координат, имеем
д^ dx? , дР _ дха дР
"Г w — л /' »
а*?' ~ д*Г 1 а*»' ~ а*" ^ д*
Следовательно,
дх* = ^g дР
Поэтому новые компоненты метрического тензора связаны со старым равенством
» дР" < dt«
ёП'= Sll-^i1J-Sai ^J.
Поправки к галилеевым значениям метрического тензора в обеих системах координат удовлетворяют соотношениям
Hll = Iur+ б«І7 + б//|г ^5'5'7) 5. Уравнения поля ОТО
141
Индексы / здесь фиксированы; повторение их во втором и третьем членах правой части равенства не означает суммирования.
Дифференцируем (5,5,7) по Xі\ положив затем / = а, умножим это равенство на б0"* и выполним свертывание по индексу а. Учитывая, что при произвольном фиксированном k произведение = = 1, получим
есса dhIa саа dhi'a' . сшхс , д дР ^
Умножим (5,5,7) на и выполним полное свертывание по обоим іексам. Найде цирования дает
индексам. Найденное соотношение ft = ft' + 2 после дифферен
дх^
Xdh 1 dh', д дР
2 дх1 2 дхГ ^ дх1 дх? Комбинируя это равенство с (5,5,8), получим
1 dh ыш ^hia 1 dh' соь'a' ^t'а' * ,—, /с с о\
"FT/"6 ^ = --6»D/- (5Л9)
Напомним, что индекс і = і' здесь фиксирован; суммируют по а. Функции Iі оставались до сих пор неопределенными. Подчиним их соотношениям
O« ? Ї - trjJjT--T 17' / - 1, ... 4. (5,5,10)
т. е. уравнениям типа Даламбера, решения которых могут быть получены хорошо известным способом.
При указанном выборе функций P в новой системе координат выполняется равенство
1 dh' лаа dhi'a>
2 dxГ
-о,
к которому приводится (5,5,9) при условии (5,5,10).
Итак, в случае слабого поля можно построить систему координат, в которой тензор Риччи с точностью до членов первого порядка относительно величин H11 и их производных имеет, согласно (5,5,6),
компоненты Rij = у Gftl-/. Инвариант этого тензора находится путем полного свертывания; он равен R = -i- Gft# где h опреде- 142
Г лава V. Общая теория относительности
ляется формулой (5,5,5). Уравнения поля (5,5,4) имеют в данном приближении вид
4" ? (йц - -T 6Hh) = - x7V (5,5,11)
Во многих случаях удобнее пользоваться несколько иной формой уравнений поля.
Если (5,5,4) умножить на Sii и выполнить свертывание по обоим индексам, то получится R = х7\ где T — инвариант тензора энер-гии-импульса. Следовательно, вместо (5,5,4) можно написать
