Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Постараемся прежде всего сформулировать основные условия, которым должны удовлетворять уравнения поля.
В соответствии с принципом относительности, потребуем, чтобы форма уравнений поля не зависела от выбора системы координат. Этому условию общей ковариантности (назовем его условием А) можно удовлетворить, применяя тензорный анализ, поскольку тензорное уравнение, установленное в одной системе координат, сохраняется при переходе к любой другой системе.
Геометрия риманова пространства вполне определяется основной квадратической формой (см. главу IV). Рассматривая пространство-время как четырехмерный континуум Римана, можно описать его геометрические свойства полем метрического тензора. Распределение масс в данной системе отсчета характеризуется в ОТО тензором энергии-импульса. Поэтому уравнения поля можно искать в виде соотношений между метрическим тензором и тензором энергии-импульса (условие В).
Третьим условием (условием С) является закон сохранения тензора энергии-импульса (5*4,8), который ограничивает форму уравнений поля.
Все эти требования выражают идею о слиянии метрики с гравитацией, а также о зависимости между метрикой пространства-времени и распределением масс. Однако эти условия чрезмерно широки, поскольку они не учитывают конкретных особенностей 5. Уравнения поля ОТО
137
механического движения в гравитационных полях. Дальнейшим ограничением является требование, чтобы ОТО в предельном случае переходила в теорию Ньютона. Это условие (назовем его условием D) предполагает, что при соответствующем выборе системы отсчета уравнения гравитационного поля ОТО и закон четырехмерной геодезической линии в первом приближении совпадают с дифференциальным уравнением Пуассона для гравитационного потенциала
V2<p = — 4 яур (5,5,1>
и с законом движения в форме
Fxi <Э<р ^ ^ Л
"IF"--aJr- (5,5,2)
Условие D имеет первостепенное значение для согласования уравнений поля с результатами наблюдений. Пользуясь уравнениями геодезической линии, представим это условие в более конкретной форме.
Вне поля гравитации (а также в кинематическом поле) можно построить галилеевы координаты, которым отвечает метрический тензор
-If 1 = / = 1,2,3; б</ = + 1, I = / « 4;
О, ІФІ
В случае слабого поля геометрия пространства-времени отличается от эвклидовой незначительно, вследствие чего можно принять Su = ^a + где hu — малые уклонения компонент метрического тензора от указанных галилеевых значений.
Будем удерживать только линейные члены относительно величин Hif и их производных, опуская члены более высоких порядков. При б44 = 1 скорость света вне поля принимается равной единице, а скорости механического движения измеряются малыми долями единицы. Поэтому в рассматриваемом приближении можно также пренебречь произведениями скоростей на величины Hij и на их производные.
Обратимся к уравнениям геодезической линии в форме (4,7,6). Положив п = 4, в нашем приближении получим
d?x° dx*2
+ Г44 = 0; а=1,2,3.
Найдем символ Кристофеля, пользуясь разложением giy = Sii + + Ibii. Простое вычисление дает
pa _ 1 dhi4 Щд 138
Г лава V. Общая теория относительности
В случае статического поля компоненты метрического тензора •являюся функциями только пространственных координат и не зависят от времени, вследствие чего второй член в выражении для Г?4 тождественно равен нулю. Если поле переменно, то зависимость •его от времени обусловлена перемещениями масс, так как случай, когда изменяются массы, в нашем приближении не имеет существенного значения. Поэтому время может ВХОДИТЬ В величины H1J только через координаты и скорости масс. Отсюда следует, что в данном приближении второй член В Г?4 должен быть опущен и для перемен-
Уравнения геодезической линии, определяющие закон движения в поле гравитации, имеют в первом приближении вид
Они совпадают с законом движения Ньютона (5,5,2), если вели-1
чина--2~&4 с точностъю Д° аддитивнои постоянной равна гравитационному потенциалу. Таким образом, условие D требует, чтобы в случае достаточно слабого поля гравитационные уравнения ОТО при соответствующем выборе координат в первом приближении приводили к уравнению Пуассона для последней компоненты метрического тензора.
Уравнения поля, отвечающие названным условиям, можно искать в форме
где Xii — симметричный тензор второго порядка, составленный из метрического тензора и удовлетворяющий соотношению Xfia = = 0; к — постоянная. Тензор Xii должен обеспечить выполнение условия D.
Вывод уравнений поля, отвечающих всем требованиям, представляет собой неопределенную задачу. Эйнштейн подошел к ее решению эвристически, образуя левую часть (5,5,3) из gif различными способами. В дальнейшем форма уравнений поля была ограничена дополнительным условием, согласно которому тензор Xii является линейной функцией относительно вторых производных компонент gij и не зависит от производных более высоких порядков. Это условие, принятое по аналогии с уравнением Пуассона, является чисто математическим ограничением, не получившим физического обоснования. Между тем оно оказывается очень существенным и позволяет определить вид тензора Xii с точностью до двух произвольных постоянных.
