Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в сопутствующих галилеевых координатах, которые мы обозначим здесь через Xat a = 1, ... 4, можно написать
T11-T22-T33 = P0; T44 = P0; Tti = O, 1Ф\. 3. Тензор энергии-импульса
133
Составим выражение для компонент тензора знергии-импульса в произвольных координатах ха\
Согласно закону преобразования тензора, имеем
rri'f _ дх1' дх)' jbfr _ дх1' дх>' дх*' дхJ9 л Ъ
1 дхЪ дх<* дх<* Ро ^'Ш'Ро> [W9O)
где через (о обозначен индекс суммирования, принимающий значения 1, 2, 3.
В системе ха компоненты метрического тензора *
в» - в» - — 1; S44=I; в"-0, 1 + 1.
Поэтому в общих координатах метрический тензор имеет компоненты
/'/' = дх1' дх)' аз = _ дх* дх*' дхдх)' Є ~ дх* д*}5 8 дх* дх» + д* дх* •
Поскольку в системе х° макроскопических движений нет, должны выполняться равенства
dx1 _ dx?_ _ dx^ _ Q. dx*_ _ j ds ds ds ~ * ds
Следовательно,
djf dx1' J-V dx19 dx*' , dx1' dxi'
+
dxA ds ' 0 d*0 ds ds *
Внося эти соотношения в (5,4,3), находим
7" = (Р„ +Po) -?- -Pog"- (5,4,4)
Штрих, которым отмечались общие координаты, здесь для простоты опущен.
Определение тензора энергии-импульса в форме (5,4,4) пригодно и для римановой метрики пространственно-временного континуума, так как это определение, полученное в общих координатах СТО, непосредственно переходит в ОТО, поскольку в каждой отдельно взятой точке обе метрики с достаточной точностью совпадают.
Во многих случаях удобно пользоваться не контравариантными, а смешанными 7/ = gaiT^ или ковариантными Tif = goag^T0^ компонентами тензора энергии-импульса, образованными из контравариантных компонент путем опускания индексов.
Тензор энергии-импульса удовлетворяет закону сохранения, который является релятивистским обобщением законов
* Для упрощения записи принято х* = ct. 134
Г лава V. Общая теория относительности
сохранения механики Ньютона. В галилеевых координатах СТО этот закон имеет вид
дТ?
-L = 0; * = 1, ... 4. (5,4,5)
Приложим соотношение (5,4,5) к изолированной системе тел, расположенной в конечной области пространства. Пренебрегая микроскопическими движениями частиц вещества, воспользуемся определением (5,4,2). Обозначив декартовы составляющие скорости через и, ut Wt находим Tii = рut pv, pwt р. Смешанные компоненты равны Ti = —рut —pvt —рW9 р.
Окружим рассматриваемую систему какой-либо замкнутой поверхностью S таким образом, чтобы система оставалась внутри образованного ею объема V. Составим интеграл
pi = J f I 71dxldx2dx\ (5,4,6)
При і = 1, 2, 3 этот интеграл определяет (с точностью до знака) компоненты количества движения, а при і = 4 равен полной массе системы. Дифференцируя (5,4,6) по времени, получим
~Ш(43-
так как в развернутой форме закон (5,4,5) имеет вид дТ\ дТ% дТ] дТ?
Во всех точках граничной поверхности выполняется условие T1i = 0. Поэтому каждый из трех интегралов правой части предыдущего уравнения, например
і J [-S-dxidxtdx9=ЯIт<\ ^
равен нулю.
Следовательно,
-S- = O. (5,4,7) 3. Тензор энергии-импульса
135
Эти равенства выражают сохранение количества движения и полной массы системы.
Закон сохранения тензора энергии-импульса в форме (5,4,5) выполняется в галилеевых координатах. Преобразуем этот закон, перейдя к общим координатам х°\
Согласно определению тензора, имеем
Tf = дх* d^
дха' дх1 *
Дифференцируя это равенство по координате Jt0, получим
дТ? = Jx*_ д*хг дхР' дНа
дха' дх?дх? г дх1 дх* дха'дх*' Г
дх« дх1' дх*' дТ? + дха' дх1 дх* дх*' '
В галилеевых координатах, в которых компоненты метрического тензора постоянны, символы Кристофеля имеют нулевые значения. Поэтому, согласно закону преобразования символов Кристофеля (4,5,7), можно написать
д*ха __ дха Гу дЧ1' дх* дх*'
дха'дх*' ~~ дх*' a'?S dxfdx* ~ дх* дх*
Внесем эти соотношения в предыдущее равенство. После соответствующей переделки индексов суммирования получим
дт? dx« dJfi- dJf' (dTf: , . , л
!J- = ^7" UT + r^'7*" ~ rt^J'
Выражение, заключенное в скобки в правой части равенства, представляет собой ковариантную производную вектора Tfit по координате . В смычных обозначениях имеем
дх* ~ дх* дх* дх*> r?"
Положим а = ? и произведем свертывание по этому индексу; принимая во внимание очевидное соотношение
дха djfi' __ tf-
находим
дТ? дх*' 136
Г лава V. Общая теория относительности
Подученная формула связывает расходимость тензора энергии-импульса в галилеевых координатах с ковариантной дивергенцией этого тензора в общих координатах. Поскольку преобразование координат произвольно, из закона (5,4,5) с необходимостью следует
Tf/a == 0; і= 1,...4. (5,4,8)
Штрих, которым отмечались общие координаты, опущен.
Исчезновение ковариантной расходимости тензора энергии-импульса выражает закон его сохранения в общем случае. В форме (5,4,8) этот закон применяется в ОТО также при римановой метрике пространственно-временного континуума.
5. Уравнения поля ОТО. Согласно принципу эквивалентности, геометрия пространственно-временного континуума в каждом конкретном случае должна быть выбрана таким образом, чтобы четырехмерная геодезическая линия правильно описывала движение свободной материальной точки в поле гравитации. Для реализации этой идеи необходимо найти теоретическую зависимость между метрическим полем gij, определяющим геометрию пространства-времени, и распределением масс, которыми обусловлено данное поле гравитации. Такая зависимость устанавливается в ОТО в виде уравнений гравитационного поля, составляющих основу математического аппарата этой теории.
