Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Математической предпосылкой такого расширения служит по* нятие о соприкосновении римановой и эвклидовой метрик вдоль линии. Это понятие, введенное в геометрию Е. Картаном, рассмотрено в главе IV, 5.
Пусть gif и Gii — метрические тензоры риманова Rn и эвклидова En пространств п измерений. Пространства Rn и En соприкасаются вдоль заданной линии, если во всех.точках этой линии выполняются соотношения
.г — a dgif — dG{i
С точностью до членов второго порядка соприкасающаяся эвклидова метрика представляет риманову в бесконечно малой окрестности линии соприкосновения.
Предположим, что в поле гравитации произвольного строения происходит движение частицы,отвечающее принципу эквивалентное- 2. Обобщение принципа эквивалентности
129
ти. В пространственно-временном континууме R4 с римановой метрикой движение частицы изображается четырехмерной геодезической линией. Построим пространственно-временной континуум E4 с эвклидовой метрикой, соприкасающийся с R4 вдоль этой линии. Во всех точках линии величины gih Gii и их первые производные цо координатам соответственно одинаковы, вследствие чего вдоль линии одинаковы также символы Кристофеля риманорой и эвклидовой метрик. Поэтому линия соприкосновения, являясь геодезической в пространстве R4t будет геодезической и в E4. Отсюда следует, чтр любое конечное движение частицы в гравитационном поле произвольного строения можно представить геодезической линией в специально построенном пространстве-времени с эвклидовой метрикой. Это пространство-время пригодно для изображения только вполне определенного конечного движения частицы (т, ?, движения в заданном поле и с заданными начальными условиями), поскольку E4 может соприкасаться с R4 лишь вдоль одной линии. Вместе с тем такое изображение достаточно полно, так как соприкасающаяся метрика вполне определяет действие поля гравитации на данную частицу.
Итак, конечное движение свободной материальной точки в поле гравитации можно описать геодезической линией как в римановом» так и в эвклидовом континуумах. При первом описании движение считается обусловленным истинным полем гравитации, а при втором его можно рассматривать как движение в кинематическом поле. Это позволяет формулировать принцип эквивалентности следующим образом: для любого конечного движения свободной частицы в поле гравитации имеется возможность построить »систему отсчета, в которой это движение происходит как в кинематическом поле, В этой формулировке принцип эквивалентности является особенно убедительным аргументом, в пользу гипотезы Эйнштейна о единой природе инерции и тяготения.
3. Принцип относительности. Как уже сказано, ОТО представляет собой расширение СТО на основе общего принципа относительности, утверждающего равноправность ускоренных систем, отсчета. Если в СТО постулируются одинаковые законы физики только в инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга без ускорений, то в ОТО это требование распространяется на все системы отсчета, по каким бы законам они ни двигались.
Специальный принцип относительности имеет, как известно, опытное происхождение и подготовлен развитием механики и электродинамики. Общий принцип относительности также нельзя рассматривать только как требование к способу математической формулировки законов физики. Физическое содержание его обусловлено свойствами гравитации. Согласно принципу эквивалентности, гравитационное поле относительно: его напряженность и строение
9 А. Ф. Богородский 130
Г лава V. Общая теория относительности
зависят от применяемой системы отсчета. Во всех системах, движущихся относительно друг друга без ускорений, существует одно и то же поле гравитации, тогда как в системах отсчета, движущихся с ускорениями, гравитационные поля различны.
Пусть S, S' — две системы отсчета, одна из которых движется ускоренно относительно другой. Изучаемый физический процесс, протекающий в системе 5 в определенном поле тяготения, в S' происходит в другбм поле. Если в системе S действие поля на данный процесс можно выразить общим законом, форма которого не зависит от величины напряженности и от конкретной структуры ПОЛЯ, то этот закон должен иметь такой же вид и в системе S', поскольку переход от 5 к 5' лишь изменяет поле гравитации.
Равноправность ускоренных систем отсчета по отношению к механическим движениям представляет собой следствие эквивалентности инерции и тяготения. Общий принцип относительности имеет более широкое значение, поскольку равноправность систем отсчета, установленная для механических процессов, переносится на все физические явления. Таким образом, принцип эквивалентности является необходимой предпосылкой и составной частью общего принципа относительности, Эйнштейн неоднократно подчеркивал, что первый из них содержится во втором.
При изложении ОТО общий принцип относительности обыкновенно отождествляют с условием ковариантности, т. е. с требованием выражать законы физики уравнениями, инвариантными относительно общего преобразования координат. В связи с этим в литературе неоднократно указывалось, что общий принцип относительности не является физическим законом и представляет собой чисто формальное требование к математическому выражению физических законовг применявшееся и в дорелятивистской физике. С этой точкой зрения, высказанной впервые, по-видимому, еще Кречманом в 1917 г. [131, едва ли можно согласиться, поскольку условие ковариантности связано, как мы видели, с гипотезой об эквивалентности инерции и гравитации.
