Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
2л 2л
Ая = J s'n Ф 'п Ae = a j sin ф In ггіф;
е о о
2л
Aco = —J- j cos ф In rdcp. (2,3,4)
о
Этими формулами определяются изменения элементов орбиты в течение одного обращения.
В рассматриваемом приближении для вычисления интегралов (2,3,4) можно воспользоваться уравнением невозмущенной орбиты.
Внеся г = f ~~ ^ , легко убедиться в том, что задача сводится
І + еСОБф J
к вычислению интегралов
2л 2л
I1 = J sin ф In (1 + е cos ф) гіф; I2 = j cos ф In (1 + е cos ф) гіф. о о
Интегрированием по частям первый из них приводится к величине
2л
fe COS ф sin ф^ф __ Q „ і + е COS ф
о
Второй интеграл преобразуется следующим образом:
2л
. Г esin2 q>d<p __ 2я . ./¦:-
J 1 -J- gcos ф ~~ * 1—е>'
о
Следовательно,
Aa = Ae = 0, Aeo = ~ (1 — VTzr*). (2,3,5)
С точностью до членов порядка е2 включительно можно написать Aco = OtJi.
Итак, в задаче двух тел, взаимодействующих по закону Холла, большая полуось и эксцентриситет изменяются только периодически. Вековым эфс}>ектом, монотонно возрастающим со временем, является движение линии апсид. Если его отождествить с наблюдаемой невязкой в движении перигелия Меркурия, положив Aeo = = 5,0 . 10~7, то получится а = 0,00000016. Для Луны этот эффект составил бы около 140" в столетие; для Венеры, Земли и Марса— приблизительно 16",8, 10", 1 и 5",5 соответственно, что значительно превосходит невязки, выведенные из наблюдений. 42
Г лава II. Попытки уточнения закона Ньютона
4. Отказ от принципа дальнодействия. Многочисленные попытки уточнить закон тяготения связаны с отказом от принципа гравитационного дальнодействия — наиболее слабого момента механики Ньютона. Первая из таких попыток была предпринята,
Допустим, что в данной точке пространства напряженность поля тяготения отвечает обычной форме закона Ньютона, но в определенный момент времени она обусловлена некоторым предшествующим положением движущегося тела, создающего рассматриваемое поле.
Пусть точечная масса M движется по закону г = г (/). В данный момент t напряженность поля в точке А (х, у, z) определяется формулой (рис. 8)
Здесь г' — радиус-вектор, отнесенный к предшествующему моменту удовлетворяющему условию t — = -у-, где V — конечная скорость передачи гравитационного действия. Масса M движется со скоростью V, предположительно весьма малой по сравнению с V. С точностью до членов 1-го порядка относительно можно написать
Следовательно,
Рис. 8.
P
по-видимому, Лапласом [15], который пришел к заключению о том, что дополнение теории Ньютона постулатом конечной скорости передачи гравитации приводит к значительным трудностям в небесной механике. В дальнейшем обобщения закона Ньютона предлагались в различных вариантах, основанных на тех или иных предположениях о распространении гравитационных взаимодействий. Рассмотрим простейший из них.
Внеся эти соотношения в (2,4,1), получим
4. Отказ от принципа дальнодействия
43
Возможен и другой способ обобщения закона Ньютона, основанный на понятии потенциала. С учетом запаздывания потенциал поля в точке А в данный момент времени равен
где г имеет прежнее значение.
Несложные вычисления показывают, что в этом случае напряженность поля определяется в том же приближении формулой
(2.4,3)
отличающейся от (2,4,2) лишь коэффициентом среднего члена.
Рассмотрим один из этих законов подробнее. Пусть масса, создающая поле гравитации, движется в радиальном направлении, приближаясь к точке А или удаляясь от нее.
Внося в (2,4,3) соотношение v = ± г, отвечающее указанным случаям движения, получим
Приближающаяся масса притягивает слабее, а удаляющаяся — сильнее, чем это следует из закона Ньютона.
Если масса движется в тангенциальном направлении, то второй член в (2,4,3) исчезает и напряженность поля оказывается равной
г_ у M у M V
т— —г WT'
Дополнительная компонента напряженности антипараллельна скорости.
Приложим закон (2,4,3) к задаче двух тел.
Обозначим радиусы-векторы точечных масс M и т через T1 и г2 соответственно. Пусть абсолютные скорости точек будут V1, V2. Относительная скорость второй массы v = V2 — V1, а ее относительный радиус-вектор г = г2 — T1. Согласно закону (2,4,3), уравнения движения имеют вид
^rl __ ут_ г , 2ym / г VlN ут V2 .
dP ~~ г» f г* [ г ' V )г г» V •
d*гъ__уМ 2уМ / г V1 \ уAf V1
dP /* Г + /* [г 9 V )Г ~ г2 V *
Вычитая из второго равенства первое, найдем уравнение движения материальной точки т относительно массы М. Воспользо-
т M
вавшись соотношениями V1 =--Jri-v, V2= Tril— v, которые
M-J-m * M + т г 44
Г лава II. Попытки уточнения закона Ньютона
непосредственно вытекают из определения v = V2 — V1 и закона центра масс Afv1 + mv2 = 0, представим это уравнение в виде
ІPr у(М + т)__4уМт / г v \
Г - (М + т) г3 [ г ' V ) Г +
і 2УМт v (2 4 4)
« (Л* + т)г2 К • WW
Кроме ньютонового притяжения, к материальной точке приложены две возмущающие силы, одна из которых действует вдоль радиуса-вектора, а другая направлена по касательной к орбите. Первая из ник имеет следующие проекции на положительное направление радиуса-вектора, на перпендикуляр к нему и на нормаль к плоскости орбиты:
