Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
7" = p(«V—(9,11.2)
где р — плотность массы, Oii — контравариантные составляющие метрического тензора, совпадающие с коэффициентами квадратической формы (9,11,1):
-1, / = /=1,2,3; б" = б,у = + 1, і = І = 4; О, ІФІ.
Закон движения частицы принимается в такой форме:
/=1,...,4. (9.11,3)
Здесь f — контравариантные компоненты четырехмерного вектора силы тяготения, отнесенного к единице объема и связанного с ковариантными компонентами обычным соотношением f = = 8й fa = ^il fі- Вектор силы определяется в теории Биркгофа формулам«
f A dk^ аЛаЗ \ a? /011 .ч
Ь = ---^rju и • (9'1М)
где р — плотность движущейся частицы, и1 — четырехмерный вектор ее скорости. Десять симметричных величин Hij образуют гравитационный потенциал, удовлетворяющий дифференциальному уравнению
? А„=8яГ,; n=__g__(9,11,5)
составленному по аналогии с уравнением Пуассона теории тяготения Ньютона.
Можно отметить, что, согласно принятому определению, сила, действующая на движущуюся в поле гравитации частицу, перпендикулярна к ее скорости, поскольку оба вектора отвечают условию IlUi = 0, следующему из (9,11,4).
Нетрудно убедиться в том, что при достаточно малых скоростях гравитирующих масс и пробной частицы теория Биркгофа совпадает с механикой Ньютона. Действительно, положив и1 ^ и2с* c*uzc* 0, Ui с^ Ix находим, что диагональные компоненты тензора 11. Теория Биркгофа
339
(9,11,2) одинаковы и равны у р. тогда как остальные компоненты
исчезают. Такие значения имеют и ковариантные составляющие тензора энергии-импульса, вследствие чего уравнение (9,11,5) для гравитационных потенциалов переходит в уравнение Пуассона SJZflu= —4яр, решением которого служит обычный потенциал <р теории Ньютона. Компоненты Hlj с различными индексами, удовлетворяющие уравнению Лапласа во всем пространстве, имеют нулевые значения.
Вектор силы, действующий на пробную частицу с постоянной плотностью р, определяется формулой (9,11,4). Считая скорость частицы весьма малой по сравнению со скоростью света, находим
ft = —р при і = 1, 2,3 и /4 = 0. Контравариантные компоненты
силы отличаются от ft знаком.
Левые части уравнений (9,11,3) приводятся к величинам
ди а , І диа diIі
P -и + OU —— = P —7—
r a*? r dra ds
диа
так как сумма —— при сделанных предположениях имеет нулевое дх
значение.
Таким образом, в рассматриваемом приближении закон движения теории Биркгофа принимает вид = -0-, совпадая с законом
движения механики Ньютона.
12. Задача Кеплера в теории Биркгофа. Переходим к задаче о движении частицы в заданном центральном поле.
Пусть статическое поле гравитации обусловлено массой со сферическим распределением, симметричным относительно начала координат. Как и в предыдущем случае, гравитационный потенциал имеет компоненты hu = ф = —, Zit/ = 0, і Ф /. Однако
теперь необходимо учитывать все четыре составляющие вектора скорости, вследствие чего выражение для компонент силы оказывается более сложным.
По формуле (9,11,4) находим
11 д* дх1 у * '
где точкой обозначено дифференцирование по s. При этом принято во внимание соотношение t2 = 1 + х2 + у2 + г2, непосредственно вытекающее из квадратической формы (9,11,1).
Контравариантные компоненты силы, составляющие правые части закона движения (9,11,3), связаны с ковариантнымй 22* -340
Г лава IX. Развитие теории гравитации
соотношениями f — бЛевые части этого закона имеют вид
Произведя необходимые подстановки, получим следующую систему уравнения движения:
+ = - + 2^2+ У2 + ' - 1. 2. 3;
І-И"5~=<р/- (9.12,1)
?ua
Покажем, что входящая в эти уравнения сумма -^a имеет НУ" левое значение.
Умножим три первые уравнения (9,12,1) соответственно на х, у, г и сложим их. Принимая во внимание равенство t2 = 1 + х2 + + у2 + Z2 И вытекающее ИЗ него соотношение tt = XX + уу + ZZ, найдем
;у , I2 диа диа 'L tt + г —— = —— + Wt2. дх дха
Сравнивая это равенство с последним уравнением (9,12,1), получим = 0. Таким образом, движение частицы в статическом
дх
поле тяготения определяется в теории Биркгофа уравнениями
»' = 5- - + 2 + У" + г2У- ' = 1-2.3;
дхг дхг
/ = ф і. (9,12,2) Последнее из них непосредственно интегрируется и дает
-?- = Сеф. (9,12,3)
где С — постоянная интегрирования.
На бесконечности, а также в отсутствие поля, когда можно положить ф = 0, частица движется без ускорения. В этих случаях, в согласии со СТО, имеем
-JL
-g- = COtist = (і --?-] ,
где V — постоянная скорость частицы. 12. Задачи Кеплера в теории Биркгофа
341
При наличии поля формула (9,12,3) показывает, что продолжительности физических явлений, в частности периоды циклических процессов, возрастают вместе с гравитационным потенциалом.
Для оценки результативности теории Биркгофа основной, интерес представляет вопрос о движении линии апсид планетной орбиты. Как уже было сказано, вывод этой теории в соответствующем приближении совпадает с известным результатом ОТО.
Прежде всего заметим, что движение, определяемое тремя первыми уравнениями (9,12,2), является плоским. Действительно, если допустить, что в какой-либо момент движение происходило в плоскости ху, вследствие чего ZHZ имели нулевые значения, то с помощью последнего из этих уравнений легко убедиться в том, что в указанный момент исчезали производные всех порядков переменной г. Поэтому при соответствующем выборе координат закон движения приводит к системе двух уравнений
