Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии" -> 51

Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии — Киев, 1962. — 197 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniepolyaeynshteyna1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 68 >> Следующая


Число звезд, находящихся в объеме r2dcodr, вырезанном из телесного угла сферами с радиусами г, г + drt равно г2 Ddcodr. Число видимых звезд в объеме Q2dcodQ составляет Q2D'dcodg, а образованный ими телесный угол равен nR2D'd(udQt поскольку каждая из этих звезд видна из точки наблюдения под углом nR2 : q2. Все видимые звезды с расстояниями менее г образуют телесный угол

D'dq и на сфере радиуса г экранируют площадку о

г

HriRH(Stf)jD' dq. Поэтому из числа г2 Ddaxir звезд, находящихся о

151 в объеме ^dcodr, окажутся заэкранированы звезды, расположенные

г г

в объеме Jtr2 R2d(odr[D'dq, т. е. всего Jir2R2Ddcodr^D'dg звезд. Таким образом, в объеме r2d(odr видимых звезд будет

г

r2Dfd(odr = r2Dd(odr — Jtr2R2Ddcodr j D'dr.

о

Отсюда получается уравнение

г

Df = D - яR2D ^ D'dr, (V, 1,1)

о

связывающее видимую звездную плотность в данном направлении с истинной.

Дифференцируя это соотношение по г и внося затем выражение

г

ZiR2^D'dr из (V, 1,1), получим простое уравнение о

dD' D'dD ~>глгл> которое легко интегрируется и дает

г

-IlRt J Ddr

Df = CDe ° ,

где С — постоянная интегрирования.

При г = 0 должно быть Df =D1 поскольку в точке наблюдения эффект экранирования исчезает. Следовательно, С = 1, и шк тому окончательно можно написать

г

-TxR1 J Ddr

U =De ° . (V, 1,2)

Воспользуемся полученной формулой для вычисления средней поверхностной яркости неба.

Обозначим через / среднюю поверхностную яркость участка неба, наблюдаемого в телесном угле dco. Интегральная яркость этого участка неба, равная Idco1 обусловлена видимыми звездами, расположенными внутри телесного угла dco. Если dco' — телесный угол, под которым видны указанные звезды из точки наблюдения, /0 — поверхностная яркость звезды, то Ida = I0d(o'.

Видимые звезды, находящиеся внутри телесного угла d(o и

152 расположенные на расстояниях, не превышающих л образуют,

г

как мы знаем, телесный угол nR2dto (*Dfdq. Поэтому все видимые

о

звезды, находящиеся внутри dco, наблюдаются под телесным углом

da' = nR2d(o ^ D'dr.

Внося сюда (V, 1,2), получаем

den' = dtt>(l — е

—JiR* J Ddr



Следовательно,

—nR2 j Ddr

/ = / о (1-е 0 ). (V, 1,3)

Этой формулой определяется связь между поверхностной яркостью звезды и средней поверхностной яркостью неба в данном направлении. Если предположить, что все пространство заполнено звездами с конечной плотностью, то яркость неба окажется равной яркости звезды. В этом и состоит парадокс Ольберса.

Формула (V, 1,3) показывает, что поверхностная яркость неба

оо

будет меньше величины I0 лишь в том случае, если интеграл ^Ddr

о

сходится, т. е., если звездная плотность в данном направлении убывает с расстоянием быстрее, чем г~р, где Р> 1.

Аналогичный характер имеет космологический парадокс Зеелигера [109—110], который возникает при попытке распространить закон тяготения Ньютона на бесконечное пространство, заполненное материей с конечной плотностью. Проследим в общих чертах рассуждения, приводящие к этому парадоксу.

Рассмотрим поле тяготения масс, распределенных с плотностью D в пространстве между двумя сферами радиусов R0, R с общим центром ь точке 0. Потенциал поля в точке A1 находящейся на заданном расстоянии а от центра (рис. 15), при соответствующем выборе единиц можно представить в виде

2л тс R

Рис. 15.

ф = ^ j* J Dr2q-1 sin udqd&dr,

О О R0

153 где г—расстояние от центра до элемента объема dv = rHxnftdbdydr Q — расстояние точки А от того же элементарного объема, д — угол, образованный радиусом-вектором и прямой OA.

Считая а малым по сравнению с г, произведем разложение

е-=^.(1+5-^003*)4 = = /-' jl +^costt+ |^(3cos2fl-1) + J^(5cos^-3COS<>)+...}. Таким образом,

со

е-1 = Yi T^r /1=0

где Pn — полиномы Лежандра, заданные формулами

Po(Z)=U Pl(Z) = Zi P2(Z)= 1(322-1),...

Пользуясь этим разложением, перепишем выражение для потенциала в виде

во 2л л R

ф = ^ a* j J J Dn-nPrl (cos d) sin MydMr. (V, 1,4)

n—O 0 0 R0

Если произвести двукратное дифференцирование (V, 1,4) по переменной а и положить затем а = 0, то получится следующая группа формул

2TC Jl R

ф = ^ ^ I* Dr sin McfdMr9

І'Л (V. 1,5)

JE = J J J D sin fl cos Mydftdr9

О 0 R0 2л л R

0 = f J f Dr-1 Sin О (3COS2 О — 1) ЖрсШг. о о ко

Естественно допустить, что в среднем плотность не зависит от направления. В этом случае при конечном R потенциал, определяющийся первой из формул (V, 1,5), является величиной конечной, а обе производные, как и производные более высоких порядков, будут иметь нулевые значения. Применяя полученные формулы к бесконечному пространству, следует положить R ->• OO . Если при этом допустить, что D = const (или уменьшается с расстоянием слишком медленно), то потенциал окажется бесконечно большим,

154 а производные от него будут неопределенными. Между тем предельные значения этих производных должны быть обязательно конечны, поскольку они определяют действие космических масс на

небесное тело, помещенное в точке 0. Величина ^ представляет
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed