Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Число звезд, находящихся в объеме r2dcodr, вырезанном из телесного угла сферами с радиусами г, г + drt равно г2 Ddcodr. Число видимых звезд в объеме Q2dcodQ составляет Q2D'dcodg, а образованный ими телесный угол равен nR2D'd(udQt поскольку каждая из этих звезд видна из точки наблюдения под углом nR2 : q2. Все видимые звезды с расстояниями менее г образуют телесный угол
D'dq и на сфере радиуса г экранируют площадку о
г
HriRH(Stf)jD' dq. Поэтому из числа г2 Ddaxir звезд, находящихся о
151в объеме ^dcodr, окажутся заэкранированы звезды, расположенные
г г
в объеме Jtr2 R2d(odr[D'dq, т. е. всего Jir2R2Ddcodr^D'dg звезд. Таким образом, в объеме r2d(odr видимых звезд будет
г
r2Dfd(odr = r2Dd(odr — Jtr2R2Ddcodr j D'dr.
о
Отсюда получается уравнение
г
Df = D - яR2D ^ D'dr, (V, 1,1)
о
связывающее видимую звездную плотность в данном направлении с истинной.
Дифференцируя это соотношение по г и внося затем выражение
г
ZiR2^D'dr из (V, 1,1), получим простое уравнение о
dD' D'dD ~>глгл> которое легко интегрируется и дает
г
-IlRt J Ddr
Df = CDe ° ,
где С — постоянная интегрирования.
При г = 0 должно быть Df =D1 поскольку в точке наблюдения эффект экранирования исчезает. Следовательно, С = 1, и шк тому окончательно можно написать
г
-TxR1 J Ddr
U =De ° . (V, 1,2)
Воспользуемся полученной формулой для вычисления средней поверхностной яркости неба.
Обозначим через / среднюю поверхностную яркость участка неба, наблюдаемого в телесном угле dco. Интегральная яркость этого участка неба, равная Idco1 обусловлена видимыми звездами, расположенными внутри телесного угла dco. Если dco' — телесный угол, под которым видны указанные звезды из точки наблюдения, /0 — поверхностная яркость звезды, то Ida = I0d(o'.
Видимые звезды, находящиеся внутри телесного угла d(o и
152расположенные на расстояниях, не превышающих л образуют,
г
как мы знаем, телесный угол nR2dto (*Dfdq. Поэтому все видимые
о
звезды, находящиеся внутри dco, наблюдаются под телесным углом
da' = nR2d(o ^ D'dr.
Внося сюда (V, 1,2), получаем
den' = dtt>(l — е
—JiR* J Ddr
Следовательно,
—nR2 j Ddr
/ = / о (1-е 0 ). (V, 1,3)
Этой формулой определяется связь между поверхностной яркостью звезды и средней поверхностной яркостью неба в данном направлении. Если предположить, что все пространство заполнено звездами с конечной плотностью, то яркость неба окажется равной яркости звезды. В этом и состоит парадокс Ольберса.
Формула (V, 1,3) показывает, что поверхностная яркость неба
оо
будет меньше величины I0 лишь в том случае, если интеграл ^Ddr
о
сходится, т. е., если звездная плотность в данном направлении убывает с расстоянием быстрее, чем г~р, где Р> 1.
Аналогичный характер имеет космологический парадокс Зеелигера [109—110], который возникает при попытке распространить закон тяготения Ньютона на бесконечное пространство, заполненное материей с конечной плотностью. Проследим в общих чертах рассуждения, приводящие к этому парадоксу.
Рассмотрим поле тяготения масс, распределенных с плотностью D в пространстве между двумя сферами радиусов R0, R с общим центром ь точке 0. Потенциал поля в точке A1 находящейся на заданном расстоянии а от центра (рис. 15), при соответствующем выборе единиц можно представить в виде
2л тс R
Рис. 15.
ф = ^ j* J Dr2q-1 sin udqd&dr,
О О R0
153где г—расстояние от центра до элемента объема dv = rHxnftdbdydr Q — расстояние точки А от того же элементарного объема, д — угол, образованный радиусом-вектором и прямой OA.
Считая а малым по сравнению с г, произведем разложение
е-=^.(1+5-^003*)4 = = /-' jl +^costt+ |^(3cos2fl-1) + J^(5cos^-3COS<>)+...}. Таким образом,
со
е-1 = Yi T^r /1=0
где Pn — полиномы Лежандра, заданные формулами
Po(Z)=U Pl(Z) = Zi P2(Z)= 1(322-1),...
Пользуясь этим разложением, перепишем выражение для потенциала в виде
во 2л л R
ф = ^ a* j J J Dn-nPrl (cos d) sin MydMr. (V, 1,4)
n—O 0 0 R0
Если произвести двукратное дифференцирование (V, 1,4) по переменной а и положить затем а = 0, то получится следующая группа формул
2TC Jl R
ф = ^ ^ I* Dr sin McfdMr9
І'Л (V. 1,5)
JE = J J J D sin fl cos Mydftdr9
О 0 R0 2л л R
0 = f J f Dr-1 Sin О (3COS2 О — 1) ЖрсШг. о о ко
Естественно допустить, что в среднем плотность не зависит от направления. В этом случае при конечном R потенциал, определяющийся первой из формул (V, 1,5), является величиной конечной, а обе производные, как и производные более высоких порядков, будут иметь нулевые значения. Применяя полученные формулы к бесконечному пространству, следует положить R ->• OO . Если при этом допустить, что D = const (или уменьшается с расстоянием слишком медленно), то потенциал окажется бесконечно большим,
154а производные от него будут неопределенными. Между тем предельные значения этих производных должны быть обязательно конечны, поскольку они определяют действие космических масс на
небесное тело, помещенное в точке 0. Величина ^ представляет