Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
увеличении его от ф|'> до ф<° производная останется положительной и переменная и будет возрастать от Ui до и2. В точке ф?'> производная изменит знак и при дальнейшем увеличении полярного угла от ф^ до ф«'+1) переменная и будет убывать от и2 до U1. Таким образом, для орбиты класса D переменная и колеблется в пределах иъ и2\ орбита расположена между окружностями и = Ui и и = = U2 и соприкасается с ними в своих экстремальных точках.
Рассмотрим две точки орбиты, отделенные двумя последовательными экстремальными точками иъ U2 и соответствующие равным значениям переменной и. Полярный угол первой из этих точек, заключенный между и ф?\ определяется формулой
и
— і= 1 Г au
Ф Фі~~ VrSmJ У"Ш'
Ui
Для полярного угла второй точки, лежащего между и ф?+1), имеем
ф'_ф(0=1 M''^=+ f * ).
т 41 Vbn \ J V f (U) nJ Vf (U)I
ut ut
Разность полярных углов
ф'-ф = -^= f (III, б, і)
V V Y 2m J^ Yf (u) "
не зависит от координат этих точек. Это показывает, что переменная и является периодической функцией полярного угла. Выполнив преобразование
и = U1 + (и2 — U1) sin2 Ф, (III, 6,2)
получим следующее выражение для периода
я 2
P =
Y2m(\
Величина периода может быть сколь угодно большой, так как при и2-> U3 модуль эллиптического интеграла стремится к единице.
UO С другой стороны, она не может оказаться меньше 2л вследствие того, что при Ui и% модуль стремится к нулю и, следовательно, 2л
р где 0 < O2 < I, так как случаи U1 = имеет место при
|<Л2<1.
Рассмотрим несколько подробнее отрезок орбиты, соответствующий одному периоду и ограниченный двумя последовательными экстремальными точками U1. Положим U0= U1 и обозначим полярный угол точки U2 через <pw. Произведя преобразование (III, 6,2), получим:
при ф ^ фт
ф
при ф>фт
я
2 ф
г J АФ J АФ /
Ф — Фо = —=====
Т0 р 2w (и.-H1) 0
Каждая из этих формул дает <рт — ф0 оба уравнения
можно заменить следующим
я
= I-J-S)-
Это показывает, что прямая, проходящая через центр поля и точку us* служит осью симметрии. Далее, две точки орбиты, симметричные относительно оси, имеют полярные углы, разность между которыми равна
ф
Ф' _ ф =P--4 . f (III, 6,6)
Y у 2т (и3—U1) J АФ 7
Если, в частности, разность ф' — ф представляет собой величину, кратную 2я, то эти точки совпадают, образуя точку возврата. Пусть при заданных значениях корней полинома f(u) период удовлетворяет условию
2т<Р<2л(п+ 1), где п — целое положительное число. В таком случае на
Ul рассматриваемом отрезке орбиты имеется п точек возврата. Значения Ф, соответствующие этим точкам, определяются формулами
ф і
2ш) V 2т (и3 - U1), /»!,...я, (111,6,7)
вытекающими из (III, 6,6), если положить q/— <р = 2пі. Полярные углы точек возврата находятся при помощи соотношений
Ф — Фо = Y Р ~~ ш *
которые показывают, что все точки возврата расположены на оси симметрии.
В частном случае, когда период удовлетворяет условию P = = 2я/г, орбита имеет п — 1 двойных точек и представляет собой
Рис. 7.
замкнутую кривую. Если P < 4я, то на протяжении одного периода орбита имеет только одну точку возврата. Однако при описании последующих периодов орбита опять пересекает данный отрезок, образуя на нем новые точки возврата, среди которых могут оказаться точки более высоких кратностей.
На рис. 7 построен график орбиты класса D с двумя точками
17
возврата. При вычислении его принято: Л2 = , а = 14,1518 т
112 § 7. Приближенное уравнение орбиты
Составим приближенное уравнение орбит классов ChD, аппроксимируя точное уравнение (III, 5,5) или (III, 6,5) в предположении, что все точки орбиты достаточно удалены от центра поля.
В рассматриваемом случае полином f(u) имеет три вещественные корня.
Введем обозначения
л - 2 P -
которые, вместе С очевидным соотношением Ui + U2 + U3 = тг- ,
2т
вытекающим из определения функции f(u), дают
Величина ро характеризует линейные размеры орбиты. Считая, что последние достаточно велики по сравнению с массой центра гравитации, будем при аппроксимировании точного уравнения
удерживать лишь первую степень отношения —. Внося (III, 7,1)
Po
в выражение для модуля эллиптических интегралов в (111,6,5), получим приближенную формулу
fp __ 4^o
Po
С той же степенью точности коэффициент в (III, 6,5) определяется соотношением
1
_ J (3 — gp) т
V 2т (U3 — U1) Po
а эллиптический интеграл, как нетрудно убедиться, равен
При помощи этих значений точное уравнение орбиты (III, 6,5) легко приводится к виду
± (ф - Фт) 11 - ^P-) = я - 2Ф + ^ sin 2Ф (III, 7,2)
\ Po J Po
или
3 т
COS
ф фт (ф Фт)] = - COS 2Ф - ^L Sin2 2Ф. (III, 7,3)
С другой стороны, из (III, 7,2) следует, что в принятом приближении вместо sin2 2Ф в (111,7,3) можно написать sin2 (ф — фт).
8 735 113 Поэтому, принимая во внимание соотношение cos 2Ф = -—— ,
eO
которое выводится из (III, 6,2) при помощи (III, 7,1) после простых преобразований получим приближенное уравнение орбиты в виде
