Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
основной вклад в интеграл (141) дают относительна
Рис. 8. Диаграмма уУ v - I: протоны (m/7nee* 1836); б - мюоны (т/те
207)
малые со, такие, что | уН0о>9ф \ <С 1. Это обстоятельство позволяет
представить степень jj, в виде р, ~ ica'YJ:?0 + со2у2Ло и, учитывая
асимптотическое соотношение для функции Лежандра первого рода при большом
значении аргумента [64]
(2р^Г(|А+1/2)
УяГ(ц+1)
наити
V 2я (a§+2v2i?g In Е0)
ехр
[
(Re|i>-T) ,
(R0 - z-yR0 In Е0)2
[2 (сг§+2y2R о In Я0)
(153)
Таким образом, в области ультрарелятивистских энергий учет многократного
упругого рассеяния приводит, прежде всего, к уменьшению средней глубины
проникновения частиц в среду. Однако вид самого распределения является
гауссовым, что соответствует определяющей роли флуктуаций потерь энергии
при неупругих столкновениях в формировании разброса остановившихся частиц
по глубине.
На рис. 8 представлена диаграмма, показывающая, какой из вероятностных
процессов будет давать преобладающий вклад в распределение остановившихся
частиц (протонов и мюонов) по глубине проникновения в вещество с
порядковым нормером Z в зависимости от начальной энергии частиц Т0. В
областях, лежащих над кривыми.
970 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЭКЫН Д, Б., РЯЗАНОВ МЕ; Ш
влияние многократного упругого рассеяния на разброс частиц является
определяющим.
В области промежуточных энергий (Е0 --l), где результаты {147) - (149),
(153) не применимы, для вычисления распределения W (z) удобно
воспользоваться квазиклассическим решением (88), {89) уравнения (68).
Однако если при вычислении энергетического спектра (88) достаточно было
ограничиться случаем п = 0, то теперь необходимо использовать решение с п
= -1. Дело в том, что такое решение более точно описывает упругое
рассеяние в области больших потерь энергии, когда A2 (z) ~ (1 - z!R0)-x.
Используя (88) с п = -1, для А о (ay, i?0) находим:
ч (со, Д") ~ ]/ (154)
где х0 = х (z = R0) определяется выражением*
х0 = 7/?0621п2 (1 + 2?0), (155)
Квазиклассическое приближенное решение (154) хорошо работает нри
достаточно больших ш: асимптотики (154) и точного решения (84) {при t =
1) совпадают. Кроме этого, квазиклассическое решение вообще не отличается
от точного для нерелятивистских энергий <Е0 "С 1). Однако в области малых
со, соответствующих хвосту распределения, выражение (154) приводит к
завышенным значениям W (z) для Е0 > 1. Для устранения этого недостатка
можно поступить так же, как и при вычислении распределений (108), (110):
представить функцию А0 (о), Rо) в виде
Л К До) = |/(1/шх0+80 ) (156)
и определить значение 60 = 8 (Е0) из условия нормировки (140). В
результате получаем
<157>
Из этого уравнения следует, что для нерелятивистских частиц, естественно,
60 = 0, а для частиц ультрарелятивистских энергий
60~[iln(l + ?") + i]2.
В пределе уУ v -С 1 (156) с учетом последнего соотношения приводит к
выражению (153).
* С учетом зависимости ионизационного логарифма от энергии
(Z + l)Lft Г С dE -|2
И°"ф {to)~ 2nn0Zz*r*e L J Ц + Е)Ьяоа{Ё) J *
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 971
Используя формулу (156), распределение остановившихся частиц по глубине
проникновения в вещество при произвольной энергии падающих частиц можно
записать следующим образом:
W (z) - - л/ sk (1 + ffo) exD Г (до г)2 ~| х
К In (1 + ?о) PL 2ст§ JX
ОО
х 2 jffiT) ехР t1]* i?o)]{l -erf [T)*(z, Д0)], (158)
k~i 1
где qh - нули функции Бесселя нулевого порядка;
М*. = ("9)
Полученное выражение описывает разброс остановившихся частиц по глубине
за счет многократного кулоновского рассеяния и флуктуаций энергетических
потерь в неупругих столкновениях с атомами во всей области энергий
падающих частиц, где указанные процессы являются доминирующими. В случаях
нерелятивистских и ультра-релятивистских энергий из (158) следуют уже
полученные ранее соотношения [(147) и (153) соответственно].
На больших глубинах ^z -R0 > ----) ' где Ряд
сходится недостаточно быстро, его легко преобразовать к виду,
аналогичному (149).
В областиR0 - z < yR0 (l - воспользовавшись асимпто-
тическим зйачением функции А0 при больших ш, для распределения W (z)
можно получить
W(z) ~ /3>-У/3 ( вЬ1п(1 + Др) \*/2 х
^ (г) - \i2at ) ( 1п(1+Я0) /
х ехр Г 1 х
L Х0 J
w f Г Хв^. -fio Z (СТо/Хо) ^0 ~\ 1,1/9! Г Rq - z (ст§/Хо) So 1 /Л?П\
xt\-TW'-----------------------Г L-------------------J- <1Ь°)
тде функции / (х; у) и h (у) определены соотношениями (131) - (133).
Если в выражении (160) положить = 0, т. е. пренебречь вероятностным]
характером неупругих столкновений, то в нерелятивистском случае приходим
к равенству
Л \ 2 - х°
Wyni>(z)~±(1^) е'Мйо-г), (161)
которое уточняет известный результат Спенсера [67] (в [67] неправильно
вычислен предэкспоненциальный фактор).
972 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИН Д. Б., РЯЗАНОВ М. И.
Приближенную формулу (160) удобно использовать в случае Y]/v >1, т. е.
когда важна роль флуктуаций путей частиц из-за многократного рассеяния.
На рис. 9 представлено распределение-остановившихся мюонов с начальной
