Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
значение параметра 6 определяется из уравнения
TrEri [Ф (*) Ф (*о)]±/2 х х [/о (V8 Ф((")) К, (1/8 Ф (*)) + Я0 (1/6 ф
("0)) /, (1/6 ф (t))] = 1. (112)
Процедура, аналогичная приведенной выше, рассмотрена также в разд. 2 при
вычислении распределения остановившихся частиц.
Изложенный метод приближенного вычисления распределения частиц по
пройденным путям справедлив для любой (достаточно плавной) зависимости
среднего квадрата угла рассеяния от глубины и может быть использован
также при описании прохождения частиц в неоднородных средах.
б. Энергетический спектр в толстых слоях вещества безотносителъ-телъно
к направлению движения частиц и их смещению от оси пучка*
Результаты п. а позволяют на основе общего выражения (69) провести уже
конкретные вычисления пространственного, углового и энергетического
распределения частиц в пучке. Рассмотрим сначала энергетический спектр
частиц безотносительно к направлению их движения и расстоянию от оси
пучка.
Интегрируя соотношение (69) по углам и поперечным координатам, получаем
для энергетического распределения частиц следующее выражение:
оо
ДТ С pl(DU-T((D, 2)
*(".") = & j ¦ <113>
- оо
где функции т (ш, z) и А0 (ш, z) определяются формулами (59) и (84) [или
(106)] соответственно.
На небольших глубинах ^z С -^=г- J роль искривления траектории в
формировании энергетического спектра быстрых тяжелых частиц,
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 959<
всегда незначительна и разброс по энергиям полностью определяется
вероятностным характером неупругих столкновений [17, 27, 29, 42-44, 49].
Напротив, в толстых слоях вещества распределение частиц формируется под
действием, вообще говоря, уже двух процессов: флуктуаций потерь энергии
при неупругих столкновениях с атомами среды и флуктуаций путей частиц из-
за искривления траектории при многократном упругом рассеянии. При этом, в
зависимости от энергии частиц, их массы и порядкового номера Z атомов
вещества, относительная роль каждого из перечисленных процессов может
быть-различна. Поэтому на больших глубинах в общем случае вероятностный
характер передачи энергии при неупругом столкновении и искривление
траектории необходимо учитывать одновременно.
Флуктуации потерь энергии в неупругих столкновениях будем рассматривать
на основе самосогласованного гауссова приближе-
ния [17]: т (со, z) = у со 2сг2, а2 определяется соотношениями (31),
(32). На больших глубинах в средах с порядковым номером Z ;>
;> (mlme)г/3 более точный учет вероятностного характера неупругих
столкновений [т. е. сохранение в выражении для т (со, z) слагаемого,
пропорционального со3] вообще не имеет смысла. Это связано с тем, что в
таких средах флуктуации энергетических потерь из-за многократного
упругого рассеяния более важны, чем недиффузионность (т. е. отличие от
нуля е3) процесса потерь энергии при неупругих столкновениях.
С учетом сказанного соотношение (113) можно переписать в виде д. ? ехр Г
icou - ~ co2o2 (z) ]
*(.,")-& j л"1 ¦ (Н4)
- ОО
Если в (114) пренебречь вероятностным характером неупругих столкновений v
-"- оо, то приходим к выражению (90). В этом случае разброс частиц по
энергиям обусловлен только непрямолинейностью их движения при
многократном упругом рассеянии.
Наоборот, если не принимать во внимание упругое рассеяние (у-+0), то из
(114) следует результат самосогласованного гауссова приближения (30).
В общем случае (при произвольном соотношении у и v), объединяя результаты
предыдущего раздела [(98) или (108)] с (30), для энергетического спектра
частиц получаем следующее выражение:
N(z, и) = ЛГ0ир[-1^]х
X 2 а* ехр [Т)Й (Z, и)]{1 -erf [T)fc(z, и))}, (115)
fc=i
где erf (х) - интеграл вероятностей [51].
960 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИН Д. Б., РЯЗАНОВ М. И.
Если вклад упругого рассеяния в разброс частиц по энергиям учитывать на
основе результата (108), то значения ak и r\k (z, и) определяются
соотношениями:
а если использовать модифицированное распределение Янга (98), то
Первое слагаемое ряда (115) описывает низкоэнергетическую часть спектра
частиц, отвечающую относительно большим потерям энергии. В эту область
спектра попадают в основном сильно рассеянные частицы, прошедшие
относительно большой путь и, вследствие этого, потерявшие большую
энергию, чем частицы, почти не отклонившиеся от направления
первоначального движения.
При вычислении энергетического спектра в области относительно малых
потерь энергии в сумме (115) необходимо сохранять значительное число
слагаемых и пользоваться представлением (115) не очень удобно. В этом
случае, используя асимптотическое выражение для интеграла вероятностей
энергетический спектр (115) - (117) можно представить в виде
Аналогичное соотношение можно записать и для случая (118),
ак = -%(-Цк-Ц2к-1)Щ?-; (116)
Ч*"/?[-5-(т<Я-1>* + в)-?]- (117)
(116)
(118)
(119)
erf (х) ~ 1-------------- ехр (- х2)
у л х
и учитывая соотношение
ОО
(2ft-l)2-f-z2
(2ft-1)
2
(120)
ОО
ОО
+ 2 ak [ехр ад (1 - erf Ы) - -7^-1}. (121)
