Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
4. Вычисление распределения по путям в общем случае.
Если вычисление распределения по пройденному пути в предельных случаях
нерелятивистских и ультрарелятивистских энергий можно было провести
непосредственно на основе формулы (84) для функции А0 (о), g), то в
области релятивистских энергий (Е0 ~ 1) интеграл (90) вычислить точно не
удается.
Однако есть два способа, которые позволяют с хорошей точностью вычислять
распределение частиц по пройденным путям при любых энергиях падающих
частиц.
Первый способ был впервые предложен Бергером и Сельтзером [6] и в
дальнейшем использовался во многих работах [9, 17, 24, 25]. Он не
отличается строгостью, но очень прост и нагляден.
Этот способ состоит в том, что распределение Янга (93) модифицируется
так, чтобы при вычислении среднего пути частиц (S )г в слое вещества
толщиной z результат совпадал бы с выражением (43). Уточненное таким
образом распределение Янга имеет вид
где функция Ф (к) определяется формулой (94), а значение (S- z>2== = (S)z
- 2 выражением (43).
956 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИН Д. Б., РЯЗАНОВ м. и.
Сравнение с результатами [30] показывает, что распределение (98) завышает
значение дисперсии путей частиц в толстых слоях вещества [для
нерелятивистских частиц, например, на 10-30%].
Второй способ [30] основан на следующих соображениях.
В случае, когда разность между пройденным частицей путем и глубиной ее
проникновения в среду невелика, в интеграл (90) основной вклад дает
область | о)Эфф | >> 1. Поэтому для вычисления распределения F (?, s - ?)
достаточно знать значение функции ^40(а)" 1) лишь при больших а). С этой
целью воспользуемся асимптотическим представлением функций Лежандра при
больших значениях степени [51, 64]:
Pi [ch In (1 +?)] ~ -7=L= х м v -г л ^2jtshln(l +Е)
X
Г (ц+ 2 ) Jn+ |) in (1+д) Г ( Р 2 ) -(д+|) ln(i+E)
_Г(1 + Ц -а) ' Г( - ц - а)
<??[ Ch 1п(1 + Е)]
(99)
С1л" Г(1 + ц+а) Г я -(^+1) Ш(1+Я) (т)
Г(ц+3/2) V 2shln(l + ?) ' ''
Это фактически эквивалентно квазиклассическому приближению (88) с п - 0.
Подставляя (99), (100) в (90), после несложных вычислений получаем [30]:
F(i, s-y~-------в'ЬрфЩ. (101)
1па 1 + ?в.в(r)
Здесь Ф(А,) определяется выражением (94), а
*=-------'"Ь -4iir' <102)
1 (s)
где введено обозначение
"(")-тд.*21пг -i+inE°M- <1оз>
Соотношение (101) хорошо описывает распределение по пройденным путям в
области, которая включаем точку максимума функции F. Поэтому для значения
наиболее вероятного пути, проходимого частицей в слое вещества толщиной
?, находим [30]:
wy^i+4-vb4n'rn^)- <104>
В частных случаях частиц нереляТивистских и ультрарелятивист-ских
энергий, а также на малых глубинах (? <С 1) из выражения (104) следуют
известные результаты [17, 30].
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 957
При больших к приближенное выражение (101) дает завышенные значения.
Следствием этого является нарушение условия нормировки (91).
Представляет интерес получить на основе результата (101) выражение для
распределения частиц по пройденным путям, которое не только бы правильно
описывало поведение функции распределения вблизи максимума, но и не
нарушало условие сохранения полного потока частиц (91).
Как показывает анализ, для выполнения указанных требований разумно
записать F (?, s - ?) в виде
Л1'$-|) = ^иЭ^е"№Ф(Х)' (Ю5)
уо ш 1+*н.в(Б)
т. е. положить
Л (">. 5) = -р=щ- <* у in* ь* + 8 (c) (106)
и определить неизвестную функцию 8 (?) из условия нормировки
(91) ио (и =0, ?) = 1]. В результате выполнения этой процедуры получаем
6 (c) = In* WЛ2 (1) + VVл2 (g) - 1]. (107)
Таким образом, приближенное выражение для распределения частиц
произвольных энергий по путям имеет вид [30]:
^5-г>=^ф(4w)
х
X exp { _{S-ж) b't^W+V/A.W-l1}
(108)
Непосредственное сравнение результатов вычислений, выполненных для частиц
нерелятивистских и ультрарелятивистских энергий по общей формуле (108) и
на основе точных выражений, приведенных в 130], показывает, что точность
соотношения (108) достаточно высока. Например, погрешность расчета F (z,
S - z) по формуле (108) на глубине z/R0 = 0,7 не превышает 2%.
Погрешность аналогичного расчета по формуле (98) заметно больше.
Важно отметить, что способ получения результата (108), вообще говоря, не
связан с пренебрежением зависимостью ионизационного логарифма от энергии
частиц. Принимая во внимание (89), с учетом зависимости Ьяоя от энергии
находим
х(2)= 2m0zU| [ I (1+Я)Хон (Я)] ' (109)
958 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИН Д. В., РЯЗАНОВ м. и.
С ростом глубины точность результата (108) постепенно уменьшается.
Поэтому для детальных расчетов при 1 - ? "с 1 лучше использовать вариант
квазиклассического решения с п - -1, который учитывает особенность А2 ~
1/(1 - |). В этом случае для распределения по путям можно получить
F (z, S - z)=j/r [ф (t) ф (*0)]-1/2e-(s-2)6 X
ОО
X, V " Jo(Qk)Ji [?*ф (0/ф (f0)] __Г "2 S-z 1 //МГи
х ^ ' (110) h=l
где qh - корни уравнения
Ылг, (г"-^-)=Л (<?*$$-) л^Ы; (Ш)
Ja(x), Na (х) - функции Бесселя и Неймана соответственно [51, 64];
