Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения вида f -J- znq> (ж) f - 0, где <р (х) - плавная функция
аргумента х [65].
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 953
1а (х) и Ка (х) - модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда
соответственно [51, 64].
В дальнейших рассуждениях, чтобы излишне не загромождать изложение
непринципиальными деталями, будем опускать зависимость ионизационного
логарифма от энергии. В конечные формулы на основе решения (88), (89)
будут внесены соответствующие изменения, позволяющие учесть
энергетическую зависимость LH0H-
Выражение (84) для функции Л0 позволяет по формулам (63) - (66)
определить коэффициенты Ап (п = 1, 2, 3) и D2 и затем, используя
соотношения (69) или (71) - (73), получить полное распределение частиц в
узком пучке по углам, поперечному смещению от оси пучка и энергиям во
всем диапазоне глубин и энергий, где торможение обусловлено
ионизационными потерями.
Рассмотрим сначала разброс частиц по пройденным путям, безотносительно к
направлению их движения и отклонению от оси пучка.
Интегрируя соотношение (76) по углам и поперечным координатам (расстоянию
от оси пучка), с учетом (84) - (86) получаем
Это выражение справедливо для весьма широкого интервала энергий падающих
частиц, который охватывает нерелятивистские (Е0 "С 1), релятивистские (Е0
~ 1) и ультрарелятивистские (1 "с Е0 "С т/те} энергии.
Отметим, что функция F (?, s - ?) удовлетворяет равенству
которое отражает сохранение полного потока в области глубин, где еще не
происходит остановки частиц.
В общем виде интеграл (90) точно вычислить не удается. Однако в ряде
предельных случаев выражение (90) упрощается, и распределение F (|, s -
?) можно представить в виде быстро сходящихся рядов [30]. Кроме этого,
для функции F(%, s - ?) оказывается возможным получить очень простую
приближенную формулу, справедливую при любых начальных энергиях падающих
частиц [30].
1. Формула Янга (распределение частиц по путям в случае <0*) = =
const) [17, 60].
Рассмотрим сначала простейший случай, когда можно пренебречь зависимостью
(0g> от энергии частиц [в уравнении (79) А2 = 1| [17, 60]. Это всегда
оправданно в области малых глубин (? <С 1). Кроме того, на этом простом
примере удается легко выявить основ-
Х J -^(ю) (0 ?W<") (^о) Рц(ю) {h) Qfx(a) (*) *
(90)
)dsF(l, s-l) = 1,
(91)
354 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗШШ Д. Б., РЯЗАНОВ М. Ш.
лые закономерности распределения частиц по пройденным путям, которые
наблюдаются и в общем случае, когда учитывается зависимость <0g> от
энергии.
Полагая в уравнении (79) Л2 = 1, находим
А0 (со, |) = ch (I У ico). (92)
Отсюда следует, что
F& *-5) = -^-Ф(-^-) , (93)
где
= jW) = l. (94)
Функция Ф имеет резко выраженный максимум при А,0 ~ 1/6 и сильно
асимметрична: при X <С Х0 она очень быстро убывает, в то время как в
области больших X она имеет длинный вытянутый "хвост" (рис. 6).
Вычисляя интеграл (94), нетрудно получить два представления "функции Ф
(А,) в виде рядов:
¦=7hW s,((2к+11 ехр![ - -т1] L (95)
ОО
Ф (I) = я 2 (-1)* (2*+1) ехр [ (2* +1)2я]. (96)
А=0
Первое слагаемое ряда (95) точно описывает поведение функции Ф ъ области
сравнительно малых X (X < 0,3 ~~ 0,4). Существенно, что в эту область
попадает значение Х0, в котором функция имеет максимум. Особенность
представления Ф (Я) в виде (96) состоит в том, что уже первый член этого
ряда хорошо описывает поведение функции Ф при относительно больших X (Я >
0,3 -г- 0,4). Во всем интервале значений X с погрешностью не более 1 %
функцию Ф (Я) можно представить в виде
Ф(Х)
зГ2 ехР ( 4хГ) '
2 (97)
яехр]| - Х^ , Я^0,3.
Отметим, что (X) = 1/2, (А,2) = 5/12.
2. Нерелятивистские частицы (Е0 "С 1)- ______
В этом случае t с* ch #н,3 (?), t0 ~ ch Е0, Ев.а (?) ~ уЧ - а параметр Ь
велик: b с* 2/EQ'^> i. Поскольку распределение
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 955
F (|, s - ?) существенно отлично от нуля при s - ? ^ у, то основной вклад
в (90) дает область | о)Эф | ~ 1, в которой р, 1, так как b 1. Поэтому
при вычислении интеграла (90) можно воспользоваться известным
асимптотическим представлением функций Лежандра при большом значении
степени [51, 64]. После этого интеграл (90) вычисляется точно с помощью
теории вычетов, и выражение для F (|, s - ?) можно представить в виде
быстро сходящегося ряда [30].
3. Ультрарелятивистские частицы (1 -С
< Е0 < т/те).
Во всей области глубин, где частицы еще остаются ультрарелятивистскими (1
-
- I > 1/Яп), t ~ Ян.з (?)/2, *0 ^ EJ2,
¦Ен.з (?) = Ео (1 - S), а значение параметра Ъ близко к единице: Ъ - 1
=
= 2 IE о < 1. Область эффективных значений ш в (90), | соЭф | ~1, такова,
что (х ~ 1, в то время как t, t0 1. Это позволяет воспользоваться
асимптотическим представлением функций Лежандра при большом значении
аргумента [51, 64]. После этого, как и в случае частиц нерелятивистских
энергий, интеграл (90) вычисляется с помощью теории вычетов, и
распределение по пройденным путям удается представить в виде быстро
сходящегося ряда [30].
