Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
энергии Т.
Выражение (69) [или (71) - (73)] определяет пространственное, угловое и
энергетическое распределение быстрых заряженных частиц в узком пучке с
одновременным учетом систематического торможения и вероятностного
характера упругих и неупругих столкновений частиц с атомами среды *.
JB Распределение (69) является наиболее общим из полученных ранее
соотношений [17, 27, 29, 60-63], описывающих торможение быстрых тяжелых
заряженных частиц в веществе, и включает упомянутые результаты как
частные случаи. Например, если ограничиться случаем чисто упругого
рассеяния и не учитывать искривление траектории при многократном упругом
рассеянии, то из (69) следует распределение Ферми [17]. Если в дополнение
к этому учесть систематические потери энергии, то придем к результату
[63]. Кроме того, интегрируя (69) по поперечным координатам, получаем все
известные ранее результаты, относящиеся к случаю широкого пучка, в
которых учтены либо только флуктуации потерь в неупругих столкновениях
[17, 27, 29], либо только искривление траектории при многократном упругом
рассеянии [61, 62], а также оба эти процесса одновременно [17]. Если
сделать те же приближения, что и в [60], т. е. не учитывать вероятностный
характер неупругих столкновений и положить (0(r)> = const, то из
соотношения (69) следует простое выражение для спектра узкого пучка
частиц, которое полностью совпадет с известным результатом Янга [60],
если в полученном им решении провести суммирование соответствующих рядов
**.
а. Распределение частиц по путям, пройденным в слое вещества
заданной толщины. Для исследования распределения (72), описы-
вающего флуктуации путей частиц при многократном упругом рассеянии в
веществе, наряду с обычными удобно использовать безразмерные переменные
I = z/Rq; 5 = SIR,; (74)
1± = р/#оУг> С75)
* Результат (69) можно использовать для описания торможения частиц не
только в однородных, но и в неоднородных средах. Соответствующие
изменения, связанные с неоднородностью вещества, отражаются лишь на
формулах
для (0§(г)> и eft (z).
** При условии, что исходное уравнение работы Янга [60] записано
правильно.
Qx + dN
В [60] допущена неточность: вместо слагаемого ----^-----написано
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 951
Выражение для F (z, р, 0, S - z) в новых переменных имеет вид F(z, р, 0,
5 - z) d2pd2Qd(S - z) = F{l, |х, of, s - l)dzl1d2^d(s - l);
ОО
F(l, Si. % 5-^) = -^7 ] d<° A0 (со, I) D* (со, I) X
- 00
Г. s-l ?) -2?±4>4a(co, + l)-\ ,na.
X exp |_ш ----±-----------?rf5r|j------------J . (76)
Безразмерный параметр у, входящий в (75) и (76), равен отношению полного
пробега частиц к транспортной длине упругого рассеяния:
7 = 4- До <01 (77)
и характеризует влияние искривления траектории на распределение частиц в
веществе. Используя (15) и (47), для параметра у можно получить:
v=2^(2+i)T^r тйёг- <78>
Как видно из этого соотношения, величина у возрастает с
уменьшением массы частиц и увеличением порядкового номера вещества
рас-
сеивателя. Например, для протонов с энергией 100 МэВ (.Е0 ~ 0,1) у си 2*
10-3 в А1 и 7 си 1,6* 10-2 в РЬ. Для мюонов той же энергии (Ео ~ 1) у -
1,3 • 10-2 и у са 0,8* 10-1 соответственно.
В новых переменных уравнение (68) для функции А0 примет вид
*** А-шЛ2(c)Л" = 0;
Л(1 = 0) = 1; Л;(? = 0) = 0, где
<6№.в(*)]>
Л {1)~ (91Ш * (80)
Уравнение (79) является дифференциальным уравнением второго порядка, и
его точное решение не может быть получено аналитически при произвольном
виде функции А2 (?). Однако, если пренебречь зависимостью ионизационного
логарифма от энергии, уравнение (79) удается решить точно.
Введем вместо безразмерной глубины g новую переменную t, которая связана
с ? соотношением [30, 31]
t (I) = ch In [1+ Ен.а (|)]. (81)
952 РЕМИ30ВИЧ В. С., РОГОВКИН Д. Б., РЯЗАНОЙ М; И.
Если теперь пренебречь зависимостью ионизационного логарифма от энергии,
то с учетом (9) и (47) уравнение (79) можно записать в виде
(*2-1):^г4,-шг>2Л=0; 1
> (82) Л("="о) = 1; 4'(г="0)=о, J
где
t0 = t(l = 0) = ch In (1 + E0); b = 1 + 2/E0. (83)
Решение уравнения (82) определяется выражением [30, 31]:
Л (", "0, и) = у Щ (<) <?" (У - Л. (Ч) Qi (*)], (84)
где .Pj (i), Q" (?) - присоединенные функции Лежандра первого и второго
рода (t 1) [51, 64]. Степень jx равна
ц(<о)-i-iyi+4lfflp-l]. (85)
Величина Ен.г (?) в (81) в приближении непрерывного замедления при Ьяоп =
const имеет вид
Ян.з (c) = + У &*=!)• (86)
Если не пренебрегать зависимостью ионизационного логарифма от энергии, то
уравнение (68) для функции А0 выглядит следующим образом:
(t2- 1) ?ион(*) ?ион (0 -fa А0-ШАо = 0- (87)
Это уравнение аналитически не может быть решено точно, однако для его
исследования можно воспользоваться квазиклассическим приближением [65]. В
этом приближении для функции А0 получаем *
Ао (t, t0, со) ~ t-~i [icotp (?) Ф (t0)]u2 X
X n+i [y ico ф (t0)] K_i_ [Yico ф (?)] + n+2 n+2
+ K "+1 (*o)l [T/ISq>(i)]), (88)
"n+2 n+2
где
(89>
* Решение (88) соответствует квазиклассическому приближению для
