Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
переход v-^oo. Для быстрых тяжелых частиц параметр v велик. Так, для
протонов с энергией 10-100 МэВ (Е0 ~ 0,01 0,1) значения v лежат в
пределах 2300 v ^ 3400
для А1 и 1400^ 2500 для РЬ. Для мюонов и пионов соответ-
ствующие значения v примерно на порядок меньше.
Спектр (30), (31) соответствует "самосогласованному" гауссову приближению
при решении уравнения переноса с интегралом неупругих столкновений в
приближении Фоккера - Планка [17]. По-видимому, впервые выражение (30)
было предложено Бергером и Сельтзером [6] как обобщение результата Бора,
полученного для распределения остановившихся частиц [50]. Более строго,
решением уравнения переноса, энергетический спектр (30) был найден в
[27].
Для оценки точности приближения Фоккера - Планка и более детального
вычисления энергетического спектра частиц в разложении экспоненты в ряд
по со нужно сохранить еще один член [29, 33]. Тогда получаем [27, 29,
33]:
Ai (ж) - функция Эйри [51].
Энергетический спектр (35) впервые вычислил Пэйн [27], решая уравнение
переноса (5) методом моментов.
Распределение (35) в переменной пробега отличается от гауссова, оно
несколько асимметрично - наиболее вероятный пробег не совпадает со
средним (рис. 3). Однако с увеличением глубины z эти отличия быстро
уменьшаются (рис. 3).
В толстых слоях вещества (z > Бмакс /е2) поправки к распределению (30)
незначительны (табл. 1) и в практических вычислениях ими, как правило,
пренебрегают [27].
Вернемся теперь к приближению Фоккера - Планка для интеграла неупругих
столкновений и несколько подробнее остановимся
где
(36)
940 РЕМИЗОВИЧ В. с., РОГОЗКИН Д. Б., РЯЗАНОВ М. И.
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 [R-(Rfz]j }10~*г/Ы*
Тц&-Ц5ШЪ 0,05 0,04 Лоз / /V 0,02 0,01 V Be, протоны Т"=50 МэВ -N(R,z) Л l
il 1 ^
-20-15-10 -5 0 5 10 15 20
ТцЛв45ШЪ 4ю2 №10~2 / В-10* / ** -I 1 1 1 №,*) - ч 1 1 1 1
Рис. 3. Изменение энергетического спектра с ростом толщины слоя вещества
[27]:
сплошная кривая - расчет на основе соотноше ния (35); штриховая -
гауссовское распределение (30)
на полученных в этом приближении результатах. Учитывая, что к настоящему
моменту их предложено немало [27, 28, 45-47, 52], укажем соответствие
между этими результатами и область применимости каждого из них. 1.
Распределение Бора [52]:
X
N{2, Т) ехр{-
У 2л0| (г) [Г-Гн .,(*)]
X
}, (37)
где
СТ)
т".М)
8 (Г)
(38)
физически оправдано в двух случаях. Во-первых, для частиц ультра-
релятивистских энергий, когда е (71) ~ const. Во-вторых, в случае, когда
одновременно выполнены неравенства (26) и (29), т. е. когда с одной
стороны потери энергии малы, а с другой - ширина спектра превышает
максимальную энергию, теряемую частицей в одном столкновении.
2. Результат Симона [45]:
N0 _ f [Г-Гн.в (г)]5
N{Z, Т) =
У 2л(z)
ехр{
2оЯ I z)
где
2 * о
<jJ(") = [b(*)P (<гг'-|1^~(г(Г,.,(г))Р J
О l8(Z)J тя.я(2)
dT-i^
[е (Т)]>
(39)
(40)
вытекает непосредственно из соотношения (30), если Т не очень отличается
от Гн.в (z) и можно положить
Д"-Д(Г)-г~ 1 [Г-Г,,.(г))- (41)
е (Гн.в (2))
3. В работах [46, 47] уравнение (5) с интегралом столкновений в
приближении Фоккера - Планка решалось методом прямого
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 941
Таблица 1. Значения поправок к гауссову распределению по остаточным
пробегам [6j РЬ, протоны, !Г0 = 340 МэВ
R - (йо - г) тн.в, МэВ
V'oHzT 338 332 308 276 1
-1 0,83 0,91 0,95 0,97 0,98
-0,8 0,83 0,91 0,95 0,97 0,98
-0,6 0,84 0,92 0,96 0,97 0,98
-0,4 0,86 0,94 0,97 0,98 0,99
-0,2 0,90 0,96 0,98 0,99 0,99
0 0,95 0,99 1,00 1,00 1,00
0,2 1,01 1,02 1,01 1,01 1,01
0,4 1,09 1,05 1,03 1,02 1,01
0,6 1,17 1,08 1,04 1,03 1,02
0,8 1,25 1,10 1,05 1,03 1,02
1,0 1,31 1,13 1,06 1,04 1,02
численного интегрирования. Как показывает сравнение [53], данные
численного расчета практически не отличаются от результатов вычислений по
формуле (30) и тем самым доказывают справедливость процедуры (18), (19)
(по крайней мере, при решении уравнения переноса в диффузионном
приближении).
4. В области нерелятивистских энергий е2 ~ const и, если вдобавок
пренебречь зависимостью ионизационного логарифма от энергии, уравнение
переноса, записанное в приближении Фоккера - Планка, удается аналитически
решить точно [28]:
(,, Т) = N, ( Т.)'- (2V-^/2v+ , (4v-SL ?) X
exp[-2v^(1+-|l)]. (42)
Здесь I i - модифицированная функция Бесселя [51]; безразмер-2v+2
ный параметр v определяется равенством (34)*.
На глубинах, где еще не происходит остановки частиц, (0^
z < Rq (l -), распределение (42) очень хорошо согласуется
с результатом (39) [если, конечно, в (39) положить е2 = const и ?ион ~
const]. По сравнению с (39) соотношение (42) обладает тем преимуществом,
что позволяет проследить изменение энергетического спектра и в той
области глубин, где происходит остановка частиц и где формула (39) уже
неприменима.
X
* В [28] исправлена допущенная в [54] неточность. Индекс функции Бес-
-селя в решении [54] нужно увеличить на единицу.
942 РЕМИЗОВИЧ В. С., Р0Г03КИНД. в., РЯЗАН^хМ>^.
