Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Дирака
№•!•?(г, () = {с (аР) + р3тс2+еФе1*} ? (г, "),
А ?
где Р = -ihV-------(Aext + Акв) - обобщенный импульс, a Aext
я Акв относятся соответственно к внешнему электромагнитному полю
1 *
Н = rot Aext, Е = -grad Oext - _Aext и квантованному поперечному полю
излучения Акв (div Акв = 0).
Обычная теория возмущений, предполагающая решения уравнения Дирака в виде
разложения волновой функции в ряд по внешнему полю (Aext, Фех4), здесь
неприменима, так как эффекты, связанные с внешним полем (в особенности в
случае сильного поля) тлогут быть существенно нелинейными. Вместе с тем
процессы, происходящие с электроном в связанном состоянии при его
взаимодей-
РАДИАЦИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ 891
ствии с электромагнитным полем излучения (константа взаимодействия а =
еУНс = 1/137), можно при этом рассматривать по теории возмущений, имея в
виду точное определение волновой функции "нулевого" приближения в
связанном состоянии. Таким образом, в уравнении Дирака внешнее
электромагнитное поле Aext, Oext учитывается точно, а Акв - квантованное
поле излучения - по теории возмущений.
При таком подходе все разложения в теории возмущений производятся по
полной системе волновых функций ? (г, ?), являющихся точными решениями
уравнения Дирака для электрона в связанном состоянии. Впервые в задаче о
синхротронном излучении этот метод был предложен А. А. Соколовым [10]
(1949). Позже метод точных решений получил название картины Фарри (1951),
который показал, что формализм Фейнмана - Дайсона можно обобщить на
случай, когда электрон не свободен, а находится в связанном состоянии
[11].
Метод точных решений дает возможность учесть любые значения
напряженностей внешнего поля. В частности, в случае магнитного поля в
силу устойчивости вакуума допустимо рассматривать даже значения поля
больше критического, Н > Нк~ = m?c3/eh = 4,41 X X 1013 Э, существующие,
по-видимому, в глубине пульсаров.
Движение электрона в однородном магнитном поле. Волновая функция.
Рассмотрим волновую функцию электрона, движущегося в постоянном и
однородном магнитном поле, которое будем полагать для определенности
направленным по оси z цилиндрической системы координат (г, ф, z),
наиболее естественным образом связанной с характером движения электрона.
Как известно, в квантовой механике необходимо иметь набор четырех
независимых величин для характеристики состояния. Поэтому нужно выбрать
четыре оператора, каждый из которых коммутирует с оператором Гамильтона и
является интегралом движения, тогда все эти операторы будут иметь общие
волновые функции.
В задаче о движении электрона в однородном магнитном поле можно
потребовать, чтобы волновая функция была бы собственной для следующих
операторов:
1. Энергии
= ЕЧТ ЗВ = с (аР) + р3лгс2.
(1)
2. Проекции импульса на направление поля
(2)
3. Проекции полного момента на направление поля
/,т=й ч'-
(3)
Для определения спинового состояния - разделения решений уравнения Дирака
по состояниям поляризации необходим четвертый
892 ТЕРНОВ и. м.
оператор, коммутирующий с гамильтонианом,- оператор поляризации. В
качестве такого оператора здесь мы рассмотрим трехмерный вектор -
оператор спина, который для свободной частицы имеет вид
Оо = р3о - (ар) р (р3 - $81Е)1р2. (4>
Этот оператор, впервые введенный Штехом [12], является единичным: его
проекция на любое направление в пространстве s (| s J - 1> удовлетворяет
требованию
(о°в) (о°в) = 1. (5)
Как это видно из (4), в системе покоя частицы трехмерный вектор спина 0°
равен о в направлении движения частицы (продольная поляризация) и р3о в
направлении, перпендикулярном движению (поперечная поляризация).
Поскольку таким образом о0 (4) является унитарным преобразованием
обычного оператора спина, собственные значения (o°s) совпадают с
собственными значениями оператора спина в системе покоя. Поэтому волновая
функция преобразуется из системы покоя в лабораторную систему с помощью
преобразований Лоренца безотносительно к состояниям поляризации:
поляризация остается неизменной во всех системах отсчета (см. [13]).
А
Заметим далее, что "на решениях" уравнения Дирака d%?xF = вид оператора
о0 может быть несколько изменен: с помощью (1) можно получить его
обобщение на случай движения частицы в магнитном поле. Действительно,
заменяя в соответствии с общими
правилами р на обобщенный импульс Р = р-------------е-А, получаем:
°° = Рз° + PiCP/E - Рз • (6>
Однако теперь при движении электрона в магнитном поле, в отличие от
движения свободной частицы в общем случае, о0 не коммутирует с
гамильтонианом. Но тем не менее можно найти интеграл движения:
сохраняется проекция а0 на направление движения электрона
А
оРIP и проекция о0 на направление магнитного поля:
°1 = Рз°з + PiсРз/Е - Рз ' СЕ^Р' • (7>
Выбирая теперь о§ в качестве оператора поляризации (поперечная
поляризация) и подчиняя волновую функцию требованию быть собственной для
этого оператора [см. (1) - (3)]
ofP = (8)
